Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

Ηλεκτρική ταλάντωση με τυχαία αρχική φάση.

Στις επαναληπτικές εξετάσεις των εσπερινών λυκείων του 2013, υπήρχε ένα θέμα, το Γ΄ συγκεκριμένα, που αξίζει να του δώσεις λίγο από τον χρόνο σου. Το συγκεκριμένο θέμα ήταν απλό αλλά έχει καλές προοπτικές αν το εμπλουτίσουμε με κάποια περίσσια ερωτήματα. Υποθέτω πως ήταν απομεινάρι από κάποιο υποψήφιο θέμα για τα γενικά λύκεια, λέω γω, ποιος ξέρει.  

Το θέμα είναι το εξής:
Ιδανική  πηγή  με  ΗΕΔ  Ε=20V και εσωτερική αντίσταση r=0, συνδέεται με  αντίσταση R =10Ω, με  ιδανικό πηνίο  με  συντελεστή αυτεπαγωγής L=9⋅10-3H και πυκνωτή χωρητικότητας C=10-9/36F. Αρχικά ο διακόπτης (δ)  βρίσκεται στη θέση 1 για  αρκετό  χρόνο και ο πυκνωτής έχει φορτίο Q1= 1⋅10-6C.

Γ1. Να  υπολογίσετε  την  ενέργεια  του  ηλεκτρικού  πεδίου  του πυκνωτή  και την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου.
Μεταφέρουμε  ακαριαία  το  διακόπτη (δ) στη θέση 2 χωρίς να ξεσπάσει ηλεκτρικός  σπινθήρας  και  το  κύκλωμα  L-C  εκτελεί  αμείωτες  ηλεκτρικές ταλαντώσεις.
Γ2. Να υπολογίσετε την περίοδο  (Τ) των ταλαντώσεων.
Γ3. Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή.
Γ4. Αμέσως μετά τη μεταφορά του διακόπτη  (δ) στη θέση 2 να υπολογίσετε την απόλυτη τιμή  του  ρυθμού  μεταβολής  της  τάσης  στα  άκρα  του πυκνωτή. 

Και τα περίσσια ερωτήματα:

Αν ο διακόπτης μεταφέρεται στην θέση 2 την χρονική στιγμή μηδέν τότε:
Γ5. Να γράψετε την χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή.
Γ6. Να υπολογίσετε την χρονική στιγμή κατά την οποία ο πυκνωτής θα εκφορτιστεί πλήρως για πρώτη φορά.
Γ7. Να υπολογίσετε την απόλυτη τιμή  του  ρυθμού  μεταβολής του ρεύματος την στιγμή που ισχύει UE/UB=3.

Τέλος θα μπορούσες να ξανά σκεφτείς το ερώτημα Γ5 με τον πυκνωτή την χρονική στιγμή μηδέν να είναι αντίθετα φορτισμένος, κι έτσι θα έχεις ξεκαθαρίσει την ηλεκτρική ταλάντωση με τυχαία αρχική φάση.

Εντωμεταξύ, αν έχεις χρόνο -πολυτέλεια για την γ λυκείου- αν έχεις όμως διάβασε για τον Αλεσάντρο Βόλτα, πέρα από την ενδιαφέρουσα πορεία του (το λινκ έχει περιορισμένα στοιχεία για την ζωή του αλλά αν γκουγκλάρεις το όνομα του θα βρεις κι άλλα), ήταν ουσιαστικά ο πρώτος που ανακάλυψε την μπαταρία, εξού και το Volt ως μονάδα μέτρησης της τάσης, οπότε τιμητικά και μόνο για τις selfie που βγάζεις πρέπει να ξέρεις για αυτόν. 


Παρακάτω θα βρεις τις απαντήσεις κι ένα spoiler για την άσκηση.

Αυτά που λες:


Spoiler alert: 

Στο ζήτημα Γ5: στην πρώτη του έκφραση να σκεφτείς ότι ο πυκνωτής φορτίζεται, ενώ στην δεύτερη εκφορτίζεται για να μπορέσεις να προσδιορίσεις την αρχική φάση.

Απαντήσεις: 
Γ1. UE=18·10-3J, UB=18·10-3J, Γ2. Τ=π·10-6s, Γ3. Q=√2·10-6C, Γ4. dVC/dt=72·109V/s, 
Γ5. q=√2·10-6ημ(2·106t+7π/4)(SI), Γ6. t=3π·10-6/8 sec, di/dt=2√6·106A/s.


Σχόλια

Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) Εξισώσεις κίνησης

Περιοδικά ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Π.χ. ομαλή κυκλική κίνηση, κίνηση εκκρεμούς, περιστροφή γης γύρω από τον ήλιο κ.ά.
(Σκέψου μερικά ακόμη…)
Στοιχεία περιοδικής κίνησης Κάθε περιοδική κίνηση χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω τρία στοιχειά:
Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου ή ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του φαινομένου.
Η περίοδος είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα μέτρησής της είναι το 1 sec.

Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο θα δίνεται από το σταθερό πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου σε κάποιο χρόνο t, προς το χρόνο αυτό.Δηλαδή: Η συχνότητα είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης το 1 sec-1 ή 1 κύκλος/sec ή 1 Hz (Hertz).



Σχέση μεταξύ περιόδου – συχνότητας Επειδή σε χρόνο t ίσο με μια περίοδο Τ έχουμε μια επανάληψη (Ν=1) του φαινομένου έχουμ…

Ενέργεια Ταλάντωσης

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε (ή ολική ενέργεια) ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισούται με την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε κίνηση (ταλάντωση). 




Η ενέργεια αυτή θα δίνεται από τη σχέση:  Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι το πλάτος Α καθορίζεται από την ενέργεια της ταλάντωσης, δηλαδή από την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα ώστε να αρχίσει να ταλαντώνεται. Σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια παραμένει σταθερή. Η ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους της.

Απόδειξη της παραπάνω σχέσης. Αν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στην θέση ισορροπίας, για να μετακινηθεί σε µια άλλη θέση πρέπει να του ασκηθεί κατάλληλη εξωτερική δύναμη Fεξ . Κατά την μετακίνηση αυτή θα ασκείται στο σώμα και η δύναμη επαναφοράς. 

Για να μετακινηθεί το σώμα στην θέση (x) θα πρέπει το μέτρο της εξωτερικής δύναμης να είναι ίσο µε το μέτρο της δύναμης επαναφοράς και να έχει αντίθετη φορά, σε κάθε χρονι…

Ταλάντωση και Ελατήριο

Ελατήριο ονομάζεται ένα μηχανικό εξάρτημα το οποίο έχει την ικανότητα να αποθηκεύει μηχανική ενέργεια παραμορφώμενο προσωρινά. Συνήθως το σχήμα είναι ελικοειδές, αλλά υπάρχουν και ελατήρια σε σχήμα ράβδου, οι σούστες.
Το κάθε ελατήριο μπορεί να παραμορφωθεί ως προς μία διάστασή του υπό την επίδραση δύναμης. Όταν ασκείται δύναμη σε αυτήν τη διάσταση, το ελατήριο παραμορφώνεται αποθηκεύοντας το έργο της δύναμης.
Ιδανικό ελατήριο Σε ιδανικά θεωρητικά ελατήρια ισχύει απόλυτα ο νόμος του Hook, δε χάνεται ενέργεια στο περιβάλλον και τα ελατήρια μπορούν πάντα να επιστρέψουν στο αρχικό τους μήκος. Επίσης η μάζα του ιδανικού ελατηρίου θεωρείται αμελητέα. [Στην πραγματικότητα χάνεται μικρό ποσό ενέργειας στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια, ενώ η παραμόρφωση μπορεί να γίνει μόνιμη. Κάθε ελατήριο έχει κάποια όρια αντοχής αν τα υπερβούν θα παραμορφωθεί ή θα σπάσει. Επιπλέον, με την επαναλαμβανόμενη χρήση το υλικό χάνει τις ιδιότητές του λόγω μηχανικής κόπωσης και αν δεν αντικατασταθεί θα σπάσει.]

Νόμο…

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) - Συνισταμένη Δύναμη

Από την Α΄ Λυκείου γνωρίζεις τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (2ος νόμος του Newton), ΣF=mα. Επίσης, όπως γνωρίζεις για να υπάρχει επιτάχυνση πρέπει να υπάρχει και δύναμη που ασκείται σε κάποιο σώμα. Στην Α.Α.Τ. ισχύει α=-ω2x, ο συνδυασμός αυτών των δυο σχέσεων δίνει τη σχέση: 
ΣF=-m ω2x Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την Θ.Ι. της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από την Θ.Ι. η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. (Για το λόγο αυτό, ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης). Επίσης, στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ΣF είναι μεγίστη.


Στο βίντεο δες το διάνυσμα της δύναμης επαναφοράς (είναι πάντα προς την θέση ισορροπίας). 



Αν συμβολίσουμε το γινόμενο mω2 με D (που είναι σταθερό για κάθε ταλαντωτή), δηλαδή D = mω2
Τότε θα έχουμε τη σχέση που δίνει τη δύναμη:F = −Dx (Μάθε την απόδειξη)

Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και σαν συν…

Θέματα πανελληνίων εξετάσεων: Ταλαντώσεις

Τα θέματα των πανελληνίων μπορείς να τα δεις κι εδώ, αλλά σ’ αυτό το αρχείο θα βρεις όλα τα θέματα από το 2001 ως το 2012 τα οποία αναφέρονται στις ταλαντώσεις, αποκλειστικά,  μηχανικές, ηλεκτρικές. Καλή δουλειά σου εύχομαι.