Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

Το Πείραμα και η Θεωρία στη Φυσική.

Οι παρακάτω λέξεις αποτελούν απόσπασμα του βιβλίου: Το Πείραμα και η Θεωρία στη Φυσική, εκδόσεις Τροχαλία και μετάφραση Γ. Γεωργακόπουλου. 

Είναι ένα μικρό βιβλίο, μόλις 40 σελίδων και πρόκειται για τη διάλεξη που έδωσε, το 1943 ο διάσημος φυσικός και νομπελίστας Μax Born στο King’s College. Ο Born πραγματεύεται εδώ τη φύση της θεωρίας και του πειράματος με βάση τις διιστάμενες απόψεις ως προς το σχετικό βάρος και την αξία τους. Ακολούθως αναλύει λεπτομερώς τους δύο τύπους της θεωρητικής επιστημονικής μεθόδου -συνθετική και αναλυτική- και αποδεικνύει ότι καθεμιά τους στηρίζεται σταθερά στα πειραματικά δεδομένα.

Ο Born εξετάζει επίσης προσεχτικά τα θεωρητικά και μαθηματικά επιτεύγματα των μεγαλύτερων φυσικών του αιώνα (Einstein, Heisenberg, Bohr, Planck, Dirac, κ.ά.). Οι αναλύσεις του δεν είναι απλώς επαγωγικές, όπως ενός ιστορικού κριτικού της επιστήμης, αλλά και διεισδυτικές με όλο το επιστημονικό υπόβαθρο ενός τέ¬λειου γνώστη του θέματος και ενός ανθρώπου που συνέβαλε στην οικοδόμηση της μοντέρνας φυσικής.
Αυτό το σύγχρονο κλασικό έργο θα αποβεί πολύτιμο βοήθημα σε όσους ενδιαφέρονται για τις ευρύτερες εφαρμογές της Θεωρητικής φυσικής και τη λογική μέθοδο της επιστήμης.

Ο Μax Born (1882-1970) υπήρξε από τους θεμελιωτές της Κβαντομηχανικής. Πρότεινε το κύμα πιθανότητας ως ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης του Schrödinger. Μαζί με τον Heisenberg διατύπωσαν τη μητρομηχανική την πρώτη μαθηματική περιγραφή της κβαντικής θεωρίας. Εξορίστηκε από τους ναζί το 1943. Τιμήθηκε με το βραβείο Νόμπελ το 1957.

Είναι φυσικό να θεωρεί κάποιος ότι η εργασία των χεριών και του νου του είναι χρήσιμη και σημαντική. Ουδείς λοιπόν, παρεξηγεί τον μανιώδη πειραματικό όταν υπερηφανεύεται για τις μετρήσεις του και κοιτάζει αφ’ υψηλού τη φυσική της «χαρτούρας» του θεωρητικού φίλου του, ούτε τον θεωρητικό, όταν καυχιέται για τις βαρύγδουπες ιδέες του και απεχθάνεται τα «μουντζουρωμένα» δάχτυλα του πειραματικού - προφανώς όμως αυτή η φιλική αντιπαλότητα μεταστράφηκε σε κάτι το σοβαρό: στη Γερμανία μια σχολή ακραίων , πειραματιστών, με ηγέτες τους Lenard και Stark, έχει προχωρήσει  τόσο πολύ ώστε να απορρίψει εξ ολοκλήρου, τη θεωρία, σαν επινόηση των Εβραίων, ανακηρύσσοντας το πείραμα τη μόνη γνήσια «αρία» επιστημονική μέθοδο. 

Υπάρχει και μια αντίθετη άποψη η οποία, μολονότι δεν έχει ρατσιστικό χαρακτήρα είναι το ίδιο ριζοσπαστική καθώς ισχυρίζεται πως οι νόμοι της φύσεως αποκαλύπτονται σε ένα πνεύμα καλά εκπαιδευμένο στα μαθηματικά και στην επιστημολογία χωρίς καταφυγή στο πείραμα. Δυο διακεκριμένοι αστρονόμοι, ο Μilne και ο  Eddington, είναι οπαδοί αυτής της φιλοσοφίας η οποία διακηρύσσει το θρίαμβο της θεωρίας επί του πειράματος. Είμαι θεωρητικός φυσικός (εβραϊκής καταγωγής και θα περίμενε κάποιος να συνηγορήσω με αυτήν τη φιλοσοφία. Και όμως δεν το κάνω. Αντιθέτως θεωρώ  πως αυτές οι ιδέες αποτελούν σοβαρό κίνδυνο για τη συνεπή ανάπτυξη της επιστήμης. Αυτή η πεποίθησή μου με ώθησε να δεχθώ την  πρότασή σας για τούτο το δύσκολο θέμα. Δεν επιθυμώ όμως να κάνω διάλογο, με τον Eddington για βαθιά φιλοσοφικά ζητήματα, ούτε να τον συναγωνιστώ στην αξεπέραστη διαλεκτική τεχνική του. Θέλω, απλώς να σας δείξω τη συσχέτιση θεωρίας και πειράματος κατά την πραγματική ιστορική ανάπτυξη της επιστήμης και να προσφέρω μια ισορροπημένη άποψη για την παρούσα κατάσταση και τα μελλοντικά ενδεχόμενα.
Αλλά ακόμα κι αυτό το μετριοπαθέστατο σχέδιο δεν είναι εύκολο, διότι οι εν ενεργεία επιστήμονες έχουν ελάχιστο χρόνο να διαθέσουν στην ιστορία της επιστήμης. Έχω μελετήσει πολύ λίγο, ελάχιστα θα ‘λεγα, την αυθεντική αρχική αρθρογραφία. Το μεγαλύτερο μέρος των γνώσεών μου είναι δευτερογενές και προέρχεται από διδακτικά εγχειρίδια, επιτομές και εγκυκλοπαίδειες. Υπάρχουν όμως δύο ενθαρρυντικά σημεία: γνωρίζω μερικά από τα κλασικά αριστουργήματα των μαθηματικών και της φυσικής αρκετά καλά, ώστε να είμαι βέβαιος για τις ιστορικές και προσωπικές βάσεις επί των οποίων θεμελιώθηκαν. Έπειτα, η ηλικία μου έχει προχωρήσει αρκετά και, χάρη σ’ αυτήν, έτυχε να παρακολουθήσω την ανάπτυξη της σύγχρονης φυσικής, δηλαδή ενός αξιοσέβαστου μέρους της φυσικής. Πιστεύω ότι τα παραπάνω παρέχουν επαρκή στοιχεία για να σχηματίσω μια γνώμη επί του θέματος.
Επισκοπώντας την ιστορία της επιστήμης παρατηρούμε κάποιο είδος κύκλων: περίοδοι πειραματικής ανάπτυξης εναλλάσσονται με περιόδους θεωρητικών εξελίξεων. Οι θεωρίες τείνουν να καθίστανται όλο και πιο αφηρημένες και γενικές. Κατασταλάζουν σε αρχές που έχουν αρχικά προταθεί από φιλοσόφους και που τελικά αφομοιώθηκαν από τη θεωρία. Καθώς όμως καθίστανται μέρη ενός φιλοσοφικού συστήματος, αρχίζει μια διαδικασία δογματισμού και απολίθωσης. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι ήδη ορατό σε παλαιότερες ποσοτικές επιστήμες όπως τα μαθηματικά και η αστρονομία. Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι οι πρώτες γεωμετρικές γνώσεις των Σουμερίων, των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων ήταν καθαρά εμπειρικές. Οι Έλληνες ανακάλυψαν τις λογικές αλληλοσυσχετίσεις των γεωμετρικών αληθειών και θεμελίωσαν την πρώτη απαγωγική επιστήμη, όπως αυτή αναδύεται από τα γραπτά του Ευκλείδη. Ένας σύγχρονος μαθηματικός μπορεί πλέον να αντιμετωπίσει τη γεωμετρία ως προϊόν καθαρών συλλογισμών, θεωρώντας τα αξιώματα ορισμούς και το όλο σύστημα σαν ψυχαγωγικό παιχνίδι. Είναι βέβαιο όμως πως οι Έλληνες φιλόσοφοι κάθε άλλο παρά αυτό εννοούσαν ως γεωμετρία: πίστευαν πως ασχολούνται με τις ιδιότητες των πραγματικών αντικειμένων. Το ότι η εμπειρία επιβεβαίωσε όλες τις προβλέψεις αυτής της θεωρίας τους καλλιέργησε την πεποίθηση ότι τα αξιώματα του Ευκλείδη περιέχουν την έσχατη αλήθεια.

Το ευκλείδειο σύστημα έζησε 2.000 χρόνια. Διατηρήθηκε και μετά την παρακμή και την πτώση του ελληνορωμαϊκού πολιτισμού και όλες τις ανακατατάξεις της μετέπειτα ιστορίας. Πέρασε όλες τις περισσότερο ή λιγότερο συνειδητές φάσεις δογματισμού. Ακόμα και μετά την ανατολή της σύγχρονης επιστημονικής εποχής, της εποχής με την κριτική αναθεώρηση των παραδοσιακών απόψεων, η πραγματική αξία των ευκλείδειων ισχυρισμών δεν αμφισβητήθηκε απλώς αυτό το ενδεχόμενο έγινε αντικείμενο φιλοσοφικών αναζητήσεων. Ο Καντ θεώρησε δεδομένο ότι έχουμε άμεση και ακριβή γνώση μερικών πραγμάτων -χώρος, χρόνος, αιτιότητα κ.λ.π. - και το ερμήνευσε με την υπόθεση ότι δεν έχουμε να κάνουμε με αυτά καθ’ εαυτά τα πράγματα αλλά με τις μορφές της διαίσθησής μας γι’ αυτά. Είναι εύλογο αυτές οι μορφές της σκέψης μας να δίνονται a priori, πριν δηλαδή από την εμπειρία. Το κύριο παράδειγμα του Καντ για a priori γνώση είναι τα θεωρήματα της γεωμετρίας, ipso verbo ο μανδύας του Ευκλείδη.
Η ιδέα ότι μπορούμε να παράγουμε a priori  γνώση έχει τις ρίζες της στο ιστορικό γεγονός της μακροζωίας της ελληνικής γεωμετρίας, η οποία δεν αντικαταστάθηκε από μια γενικότερη θεωρία παρά μόνο στην εποχή μας. Ο πραγματικός λόγος της μακροζωίας της ελληνικής γεωμετρίας είναι η ακρίβεια με την οποία περιγράφει τη συμπεριφορά των σωμάτων στο γήινο περιβάλλον μας. Οι πρώτες αμφιβολίες δεν ανέκυψαν από πειραματικά στοιχεία αλλά από λογικές αφετηρίες. Κάποιοι μαθηματικοί θεώρησαν ένα από τα αξιώματα του Ευκλείδη -το περί των παραλλήλων ευθειών- λιγότερο προφανές από τα υπόλοιπα και άρχισαν να αμφιβάλλουν αν αυτό μπορούσε να προκύψει από τα άλλα αξιώματα. Όλες  οι σχετικές απόπειρες όμως ήταν ανεπιτυχείς. Παρ’ όλα αυτά συνεχίστηκαν, με στόχο να αποδειχθεί η ανεξαρτησία του εν λόγω αξιώματος από τα υπόλοιπα μέσω ενός γεωμετρικού συστήματος που ικανοποιεί όλα τα άλλα αξιώματα (πρώτος ασχολήθηκε με το ζήτημα ο Gauss, χωρίς όμως να δημοσιεύσει τίποτα, και στη συνέχεια οι Bolyai και Lobachevsky ανεξάρτητα). Αυτές οι προσπάθειες κατασκευής μη ευκλείδειων γεωμετρικών συστημάτων, τελικά, απέφεραν αποτέλεσμα. Ο Gauss μάλιστα έφτασε στο σημείο να κάνει μετρήσεις για να διαπιστώσει ποια γεωμετρία, εφαρμόζεται στον πραγματικό κόσμο μας. Τόσο αυτός όσο και ο διάδοχός του Riemann αναγνώριζαν τον καθαρά εμπειρικό χαραχτήρα της γεωμετρίας. Ο Riemann επινόησε τα μαθηματικά θεμέλια πάνω στα οποία, ο Αϊνστάιν επέτυχε στην , εποχή μας να αναγάγει τη γεωμετρία σε μέρος της  φυσικής, μέσω της γενικής θεωρίας της σχετικότητας.
Η ιστορία της αστρονομίας είναι παράλληλη με εκείνη της γεωμετρίας, με τη διαφορά ότι μερικοί Έλληνες φιλόσοφοι είχαν ήδη σαφή ιδέα σχετικά με το σφαιρικό σχήμα της  γης, την κεντρική θέση  του ήλιου στο πλανητικό σύστημα και τις πραγματικές αποστάσεις των μελών του,  ιδέες που χάθηκαν ή συσκοτίστηκαν, κατά τον Μεσαίωνα. Η Εκκλησία αποδεχόταν την ελληνική φιλοσοφία και επιστήμη όπως της παραδόθηκε από τον Αριστοτέλη και τον Πτολεμαίο. Από τη δική μας οπτική γωνία, αυτό το ιστορικό φαινόμενο σημαίνει πως η στασιμότητα της επιστήμης κατά τον Μεσαίωνα οφείλεται σε υπερεκτίμηση των νοητικών δραστηριοτήτων εις βάρος των  υλικών φαινομένων -υπερεκτίμηση που οδήγησε στην προτίμηση των θεωρητικών αναζητήσεων εις βάρος των πειραματικών. Πράγματι, η εμφάνιση της σύγχρονης επιστήμης  στην Αναγέννηση είχε τη μορφή μιας νέας φιλοσοφίας στην οποία θεωρούμε τον συστηματικό πειραματισμό ως κύρια πηγή της γνώσης.   

Προφήτης ήταν ο Βάκων και πραγματικοί θεμελιωτές ο Γαλιλαίος και ο Νεύτων. Η Σχολαστική φιλοσοφία είχε ήδη διαβρωθεί από τον Καρτέσιο και άλλους φιλοσόφους, που όμως χρησιμοποίησαν κυρίως λογικά και μεταφυσικά επιχειρήματα.  Η ουσιώδης διάκριση της εποχής μας από τον Μεσαίωνα είναι η παραίτηση  από την τότε παράδοση και η ανακήρυξη της εμπειρίας ως πραγματικής πηγής της γνώσης. Η Αναγέννηση δεν επανέφερε μόνο την ελληνική, φιλολογία στο προσκήνιο, αλλά και ανέστησε, το ελληνικό πνεύμα, τη σκεπτική και συνάμα κατασκευαστική στάση της ελληνικής φιλοσοφίας. Στη συνέχεια ισχυροποιήθηκε η μέθοδος της επαγωγικής συλλογιστικής, που οδηγεί από μεμονωμένες παρατηρήσεις σε γενικούς νόμους. Η επαγωγική μέθοδος είναι δυνατόν να καταστεί επίσης αντικείμενο φιλοσοφικής ανάλυσης. Είναι όμως προφανές ότι κάτι τέτοιο προϋποθέτει όχι μόνο τη θεμελιώδη πίστη πως υπάρχουν φυσικοί νόμοι, αλλά και την ύπαρξη κριτηρίων για τη διάκριση των αυθεντικών κανονικοτήτων από τις  τυχαίες καθώς και άλλων παρόμοιων αρχών. Δεν θέλω να σχολιάσω αυτά τα αφηρημένα προβλήματα. Θέλω μόνο να διατυπώσω την άποψη ότι η σύγχρονη επιστήμη εκθρόνισε την επαγωγική μέθοδο, κατάργησε την κυριαρχία της και της έδωσε τη  θέση που της άρμοζε. Τόσο ο Γαλιλαίος-όσο και ο Νεύτων ήταν σαφέστατοι όσον αφορά τον επαγωγικό, χαρακτήρα της νέας φιλοσοφίας. Χρησιμοποιούσαν τις θεωρίες που διατύπωναν κατά τη σύνθεση των πειραματικών αποτελεσμάτων τους  για να προτείνουν περαιτέρω πειράματα, τα οποία όταν κατέληγαν επιτυχώς θεωρούνταν ως επιβεβαιώσεις της θεωρίας. Αυτή είναι η νόμιμη επιστημονική μέθοδος, ένα μείγμα απαγωγής και επαγωγής το οποίο περιγράφεται σε αναρίθμητα βιβλία. Η ιστορία όμως δεν τελειώνει εδώ.

Τόσο ο Γαλιλαίος όσο και ο Νεύτων αγωνιούσαν να αποφύγουν τις μεταφυσικές αναζητήσεις (hypotheses non fingo: δεν επινοώ υποθέσεις). Κι όμως πολύ γρήγορα, μόλις οι νόμοι της μηχανικής είχαν πλήρως διατυπωθεί, εμφανίζονται προσπάθειες να απαχθούν αυτοί από αρχές που φαίνεται να μην έχουν εμπειρική προέλευση. Η σημαντικότερη από αυτές τις αρχές είναι της ελαχίστης δράσεως. Ο  Maupertuis οδηγήθηκε σίγουρα σε αυτήν μέσω μιας τελολογικής ιδέας: η φύση θεωρήθηκε ως δρώσα ανθρωπίνως, επιδιώκοντας συγκεκριμένους σκοπούς τους οποίους προσπαθεί να εκπληρώσει με  την ελάχιστη δυνατή «δράση». Φυσικά, είναι δύσκολο να εξηγηθεί γιατί αυτή η μαθηματική έκφραση,  η δράση, είναι τόσο πολύτιμη στη φύση ώστε να την ξοδεύει τόσο φειδωλά. Σήμερα γνωρίζουμε πως οι πραγματικές τροχιές των σωμάτων δεν αντιστοιχούν σε πραγματικά ελάχιστα δράσης (εκτός από μικρά χρονικά διαστήματα) αλλά σε  στάσιμες καταστάσεις, θεωρούμε την αρχή της ελαχίστης δράσεως απλώς ως  ιδιαίτερα χρήσιμο και ισχυρό εργαλείο που συμπυκνώνει περίπλοκες διαφορικές εξισώσεις σε μια συνοπτική διατύπωση. [...]

Μετά:




Σχόλια

Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) Εξισώσεις κίνησης

Περιοδικά ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Π.χ. ομαλή κυκλική κίνηση, κίνηση εκκρεμούς, περιστροφή γης γύρω από τον ήλιο κ.ά.
(Σκέψου μερικά ακόμη…)
Στοιχεία περιοδικής κίνησης Κάθε περιοδική κίνηση χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω τρία στοιχειά:
Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου ή ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του φαινομένου.
Η περίοδος είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα μέτρησής της είναι το 1 sec.

Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο θα δίνεται από το σταθερό πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου σε κάποιο χρόνο t, προς το χρόνο αυτό.Δηλαδή: Η συχνότητα είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης το 1 sec-1 ή 1 κύκλος/sec ή 1 Hz (Hertz).



Σχέση μεταξύ περιόδου – συχνότητας Επειδή σε χρόνο t ίσο με μια περίοδο Τ έχουμε μια επανάληψη (Ν=1) του φαινομένου έχουμ…

Ενέργεια Ταλάντωσης

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε (ή ολική ενέργεια) ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισούται με την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε κίνηση (ταλάντωση). 




Η ενέργεια αυτή θα δίνεται από τη σχέση:  Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι το πλάτος Α καθορίζεται από την ενέργεια της ταλάντωσης, δηλαδή από την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα ώστε να αρχίσει να ταλαντώνεται. Σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια παραμένει σταθερή. Η ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους της.

Απόδειξη της παραπάνω σχέσης. Αν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στην θέση ισορροπίας, για να μετακινηθεί σε µια άλλη θέση πρέπει να του ασκηθεί κατάλληλη εξωτερική δύναμη Fεξ . Κατά την μετακίνηση αυτή θα ασκείται στο σώμα και η δύναμη επαναφοράς. 

Για να μετακινηθεί το σώμα στην θέση (x) θα πρέπει το μέτρο της εξωτερικής δύναμης να είναι ίσο µε το μέτρο της δύναμης επαναφοράς και να έχει αντίθετη φορά, σε κάθε χρονι…

Ταλάντωση και Ελατήριο

Ελατήριο ονομάζεται ένα μηχανικό εξάρτημα το οποίο έχει την ικανότητα να αποθηκεύει μηχανική ενέργεια παραμορφώμενο προσωρινά. Συνήθως το σχήμα είναι ελικοειδές, αλλά υπάρχουν και ελατήρια σε σχήμα ράβδου, οι σούστες.
Το κάθε ελατήριο μπορεί να παραμορφωθεί ως προς μία διάστασή του υπό την επίδραση δύναμης. Όταν ασκείται δύναμη σε αυτήν τη διάσταση, το ελατήριο παραμορφώνεται αποθηκεύοντας το έργο της δύναμης.
Ιδανικό ελατήριο Σε ιδανικά θεωρητικά ελατήρια ισχύει απόλυτα ο νόμος του Hook, δε χάνεται ενέργεια στο περιβάλλον και τα ελατήρια μπορούν πάντα να επιστρέψουν στο αρχικό τους μήκος. Επίσης η μάζα του ιδανικού ελατηρίου θεωρείται αμελητέα. [Στην πραγματικότητα χάνεται μικρό ποσό ενέργειας στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια, ενώ η παραμόρφωση μπορεί να γίνει μόνιμη. Κάθε ελατήριο έχει κάποια όρια αντοχής αν τα υπερβούν θα παραμορφωθεί ή θα σπάσει. Επιπλέον, με την επαναλαμβανόμενη χρήση το υλικό χάνει τις ιδιότητές του λόγω μηχανικής κόπωσης και αν δεν αντικατασταθεί θα σπάσει.]

Νόμο…

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) - Συνισταμένη Δύναμη

Από την Α΄ Λυκείου γνωρίζεις τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (2ος νόμος του Newton), ΣF=mα. Επίσης, όπως γνωρίζεις για να υπάρχει επιτάχυνση πρέπει να υπάρχει και δύναμη που ασκείται σε κάποιο σώμα. Στην Α.Α.Τ. ισχύει α=-ω2x, ο συνδυασμός αυτών των δυο σχέσεων δίνει τη σχέση: 
ΣF=-m ω2x Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την Θ.Ι. της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από την Θ.Ι. η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. (Για το λόγο αυτό, ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης). Επίσης, στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ΣF είναι μεγίστη.


Στο βίντεο δες το διάνυσμα της δύναμης επαναφοράς (είναι πάντα προς την θέση ισορροπίας). 



Αν συμβολίσουμε το γινόμενο mω2 με D (που είναι σταθερό για κάθε ταλαντωτή), δηλαδή D = mω2
Τότε θα έχουμε τη σχέση που δίνει τη δύναμη:F = −Dx (Μάθε την απόδειξη)

Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και σαν συν…

Θέματα πανελληνίων εξετάσεων: Ταλαντώσεις

Τα θέματα των πανελληνίων μπορείς να τα δεις κι εδώ, αλλά σ’ αυτό το αρχείο θα βρεις όλα τα θέματα από το 2001 ως το 2012 τα οποία αναφέρονται στις ταλαντώσεις, αποκλειστικά,  μηχανικές, ηλεκτρικές. Καλή δουλειά σου εύχομαι.