Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

Ταλάντωση και Ελατήριο


Ελατήριο ονομάζεται ένα μηχανικό εξάρτημα το οποίο έχει την ικανότητα να αποθηκεύει μηχανική ενέργεια παραμορφώμενο προσωρινά. Συνήθως το σχήμα είναι ελικοειδές, αλλά υπάρχουν και ελατήρια σε σχήμα ράβδου, οι σούστες.

Το κάθε ελατήριο μπορεί να παραμορφωθεί ως προς μία διάστασή του υπό την επίδραση δύναμης. Όταν ασκείται δύναμη σε αυτήν τη διάσταση, το ελατήριο παραμορφώνεται αποθηκεύοντας το έργο της δύναμης.
 

Ιδανικό ελατήριο
Σε ιδανικά θεωρητικά ελατήρια ισχύει απόλυτα ο νόμος του Hook, δε χάνεται ενέργεια στο περιβάλλον και τα ελατήρια μπορούν πάντα να επιστρέψουν στο αρχικό τους μήκος. Επίσης η μάζα του ιδανικού ελατηρίου θεωρείται αμελητέα.
[Στην πραγματικότητα χάνεται μικρό ποσό ενέργειας στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια, ενώ η παραμόρφωση μπορεί να γίνει μόνιμη. Κάθε ελατήριο έχει κάποια όρια αντοχής αν τα υπερβούν θα παραμορφωθεί ή θα σπάσει. Επιπλέον, με την επαναλαμβανόμενη χρήση το υλικό χάνει τις ιδιότητές του λόγω μηχανικής κόπωσης και αν δεν αντικατασταθεί θα σπάσει.]


Νόμος του Hooke
Οι ελαστικές παραμορφώσεις είναι ανάλογες των δυνάμεων που τις προκαλούν.

Fελ = k x

x: η παραμόρφωση του ελατηρίου σε σχέση με το φυσικό του μήκος (Θ.Φ.Μ)
k: η σταθερά του ελατηρίου που εκφράζει τη σκληρότητα του και μετριέται σε Ν/m.
lο: το φυσικό μήκος του ελατηρίου όταν δεν είναι παραμορφωμένο.  

Όπως βλέπεις από το σχήμα η δύναμη του ελατηρίου (Fελ) έχει πάντα φορά προς την Θ.Ι. ή Θ.Φ.Μ, που στην περίπτωση του οριζόντιου ελατηρίου αυτές οι δυο ταυτίζονται (Θ.Ι. = Θ.Φ.Μ)


Θυμήσου: δύναμη επαναφοράς 


Οριζόντιο ελατήριο

Όταν ένα σώμα είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου και κινείται χωρίς τριβές σε λείο οριζόντιο επίπεδο (εκτελώντας γραμμική αρμονική ταλάντωση, ΓΑΤ), τότε στη θέση ισορροπίας του σώματος το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Επίσης, σε κάθε σημείο, αφού ασκείται μόνο μια δύναμη (αυτή του ελατηρίου) τότε η δύναμη επαναφοράς (ΣF) θα ταυτίζεται με την δύναμη του ελατηρίου (Fελ).
Σε κάθε τυχαία θέση η απομάκρυνση x από την θέση ισορροπίας συμπίπτει με την επιμήκυνση ή τη συσπείρωση του ελατηρίου και για την δύναμη επαναφοράς ισχύει: 
ΣF = -Fελ =-kx
Η σχέση αυτή είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί το σώμα απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k.

Κατακόρυφο ελατήριο
Όταν ένα σώμα είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου (εκτελώντας γραμμική αρμονική ταλάντωση, ΓΑΤ), τότε στη θέση ισορροπίας του σώματος το ελατήριο δεν έχει το φυσικό του μήκος. Επίσης, σε κάθε σημείο, αφού ασκείται και η δύναμη του βάρους (εκτός από τη δύναμη του ελατηρίου) τότε η δύναμη επαναφοράς (ΣF) δεν θα ταυτίζεται με την δύναμη του ελατηρίου (Fελ).

Στη Θ.Ι. ισορροπίας του σώματος το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά x1 και ισχύει: 
 ΣF =0  ή   mg - Fελ =0   ή   mg = kx1 (1)

Σε μια τυχαία θέση του σώματος όπου η απομάκρυνση  από την Θ.Ι.  του είναι x, ισχύει: 
ΣF = mg – F΄ελ = mg – k(x1+x)
Η οποία λόγω της σχέσης (1) γίνεται: ΣF = -kx= -Dx
Η σχέση αυτή είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί το σώμα απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k.

Προσοχή: την απόσταση (x) για την Fελ (ή την ελ … ) την μετράμε πάντα από το την Θέση Φυσικού Μήκους.




Ελατήριο σε κεκλιμένο επίπεδο
Σε αντιστοιχία με το κατακόρυφο ελατήριο, έτσι και στο κεκλιμένο επίπεδο στη θέση ισορροπίας του σώματος το ελατήριο δεν έχει το φυσικό του μήκος. Επομένως με βάση το σχήμα στη Θ.Ι. ισχύει: 

ΣF =0  ή -wx + Fελ =0 ή mgημφ = kx1 (2)

Σε μια τυχαία θέση του σώματος όπου η απομάκρυνση  από την Θ.Ι.  του είναι x, ισχύει: 
ΣF = F΄ελ - wx =  k(x1-x) -  mgημφ

Η οποία λόγω της σχέσης (2) γίνεται:
ΣF = -kx= -Dx

άρα το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k.






Σχόλια

  1. Θα ήθελα παρακαλώ πολύ μία διευκρίνηση όσον αφορά τη σταθερά επαναφοράς D και τη σταθερά ελατηρίου k . Πότε αυτές είναι διαφορετικές, μεταξύ τους, σε περιπτώσεις ελατηρίων( κατακόρυφα, κεκλιμένα, οριζόντια) όταν έχουμε παρουσία μεταβαλλόμενης δύναμης;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Καλησπέρα, ήθελα να ρωτήσω, για την εύρεση της χρονικής εξίσωσης της Fελ σε κατακόρυφο ελατήριο, με ποια λογική η Fελ έχει πάντα θετικό πρόσημο ενώ μπορεί σύμφωνα με τη θετική φορά που λάβαμε να είναι αρνητική; Ευχαριστώ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. H δύναμη του ελατηρίου δίνεται από τη σχεση Fελ=kΔl και οπου Δl είναι η απόσταση (που είναι πάντα θετικη) από την θεση φυσικού μήκους.

      Όταν θελεις να γραψεις την παραπάνω δυναμη σε συνάρτηση με το χρόνο (και γενικα οποιαδήποτε δυναμη) τοτε παντα θα εφαρμόζεις τη συνθήκη ταλάντωσης ΣF=-Dx και οπου x=Aημ(ωt+φο).

      Για το κατακόρυφο ελατήριο που αναφέρεις (με εστω θετικη φορα προς τα πανω) ΣF=-Dx ή Fελ-w=-Dx…

      Διαγραφή
    2. Σας ευχαριστώ πάρα πολύ! Στην περίπτωση που λέτε, δηλαδή αν πάρουμε θετική φορά προς τα πάνω, και το x (η απομάκρυνση) είναι αρνητική, δεν λέμε Fελ= B+ΣF = kΔl-k(-x) = kΔl+kx για να δείξουμε ότι η Fελ αντίρροπη του x; Εξάλλου δεν ισχύει ότι Fελ= k(Δl+x);

      Διαγραφή
    3. Ακριβώς, απλά πρέπει να προσέχεις τη θετική φορά, τις δυνάμεις που ενεργούν και αν το x ειναι θετικό ή αρνητικό και δεν θα κάνεις ποτέ λαθος. Παρακαλώ. :-)

      Διαγραφή
  3. Εντάξει, και πάλι σας ευχαριστώ!

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Δημοσίευση σχολίου

Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) Εξισώσεις κίνησης

Περιοδικά ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Π.χ. ομαλή κυκλική κίνηση, κίνηση εκκρεμούς, περιστροφή γης γύρω από τον ήλιο κ.ά.
(Σκέψου μερικά ακόμη…)
Στοιχεία περιοδικής κίνησης Κάθε περιοδική κίνηση χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω τρία στοιχειά:
Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου ή ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του φαινομένου.
Η περίοδος είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα μέτρησής της είναι το 1 sec.

Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο θα δίνεται από το σταθερό πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου σε κάποιο χρόνο t, προς το χρόνο αυτό.Δηλαδή: Η συχνότητα είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης το 1 sec-1 ή 1 κύκλος/sec ή 1 Hz (Hertz).



Σχέση μεταξύ περιόδου – συχνότητας Επειδή σε χρόνο t ίσο με μια περίοδο Τ έχουμε μια επανάληψη (Ν=1) του φαινομένου έχουμ…

Ενέργεια Ταλάντωσης

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε (ή ολική ενέργεια) ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισούται με την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε κίνηση (ταλάντωση). 




Η ενέργεια αυτή θα δίνεται από τη σχέση:  Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι το πλάτος Α καθορίζεται από την ενέργεια της ταλάντωσης, δηλαδή από την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα ώστε να αρχίσει να ταλαντώνεται. Σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια παραμένει σταθερή. Η ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους της.

Απόδειξη της παραπάνω σχέσης. Αν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στην θέση ισορροπίας, για να μετακινηθεί σε µια άλλη θέση πρέπει να του ασκηθεί κατάλληλη εξωτερική δύναμη Fεξ . Κατά την μετακίνηση αυτή θα ασκείται στο σώμα και η δύναμη επαναφοράς. 

Για να μετακινηθεί το σώμα στην θέση (x) θα πρέπει το μέτρο της εξωτερικής δύναμης να είναι ίσο µε το μέτρο της δύναμης επαναφοράς και να έχει αντίθετη φορά, σε κάθε χρονι…

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) - Συνισταμένη Δύναμη

Από την Α΄ Λυκείου γνωρίζεις τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (2ος νόμος του Newton), ΣF=mα. Επίσης, όπως γνωρίζεις για να υπάρχει επιτάχυνση πρέπει να υπάρχει και δύναμη που ασκείται σε κάποιο σώμα. Στην Α.Α.Τ. ισχύει α=-ω2x, ο συνδυασμός αυτών των δυο σχέσεων δίνει τη σχέση: 
ΣF=-m ω2x Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την Θ.Ι. της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από την Θ.Ι. η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. (Για το λόγο αυτό, ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης). Επίσης, στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ΣF είναι μεγίστη.


Στο βίντεο δες το διάνυσμα της δύναμης επαναφοράς (είναι πάντα προς την θέση ισορροπίας). 



Αν συμβολίσουμε το γινόμενο mω2 με D (που είναι σταθερό για κάθε ταλαντωτή), δηλαδή D = mω2
Τότε θα έχουμε τη σχέση που δίνει τη δύναμη:F = −Dx (Μάθε την απόδειξη)

Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και σαν συν…

Ταλάντωση και πλαστική κρούση

Θυμήσου την ορμή: 
Για ένα σώμα μάζας m που κινείται µε ταχύτητα u η ορμή του p δίνεται από τη σχέση: p=mu

Η ορμή p είναι ένα διανυσματικό μέγεθος το ο­ποίο έχει: μέτρο p = mu,διεύθυνση και φορά ίδια µε τη διεύθυνση και τη φορά της ταχύτητας u,μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 kg ∙ m/s (ισοδύναμη μονάδα είναι το 1 Ν∙s).Η ορμή, ως διανυσματικό μέγεθος, έχει όλες τις ιδιότητες των διανυσμάτων. Έτσι: μπορεί ν' αναλυθεί σε άξονες, δηλαδή σε συ­νιστώσες px και py,μεταβάλλεται αν μεταβληθεί τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία της, δηλαδή το μέτρο της, η διεύθυνσή της ή η φορά της.Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής (dp/dt) ισούται με την δύναμη ή τη συνισταμένη των δυνάμεων (ΣF) που ασκούνται στο σώμα.

Προσοχή:

Όταν στις ασκήσεις πρέπει να υπολογίσεις την μεταβολή της ορμής τότε θα υπολογίζεις την σχέση:Δp = pτελ – pαρχΕνώ όταν  ζητείται ο ρυθμό μεταβολής της ορμής θα υπολογίζεις τη σχέση: dp/dt ή ΣF. Θυμήσου:
Σύστημα σωμάτων ονομάζουμε κάθε σύνολο σωμάτων, τα οποία απομονώνουμε νοητι…