Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) - Συνισταμένη Δύναμη


Από την Α΄ Λυκείου γνωρίζεις τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (2ος νόμος του Newton), ΣF=mα. Επίσης, όπως γνωρίζεις για να υπάρχει επιτάχυνση πρέπει να υπάρχει και δύναμη που ασκείται σε κάποιο σώμα. Στην Α.Α.Τ. ισχύει α=-ω2x, ο συνδυασμός αυτών των δυο σχέσεων δίνει τη σχέση: 
ΣF=-m ω2x 
 
Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την Θ.Ι. της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από την Θ.Ι. η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. (Για το λόγο αυτό, ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης). Επίσης, στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ΣF είναι μεγίστη.



Στο βίντεο δες το διάνυσμα της δύναμης επαναφοράς (είναι πάντα προς την θέση ισορροπίας). 
  




Αν συμβολίσουμε το γινόμενο mω2 με D (που είναι σταθερό για κάθε ταλαντωτή), δηλαδή
D = mω2

Τότε θα έχουμε τη σχέση που δίνει τη δύναμη:  F = −Dx
(Μάθε την απόδειξη)

Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και σαν συνθήκη για την παραγωγή απλής αρμονικής ταλάντωσης. Η δύναμη F ονομάζεται δύναμη επαναφοράς (γιατί τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας) και η σταθερά αναλογίας D σταθερά επαναφοράς η τιμή της οποίας σχετίζεται με τα φυσικά χαρακτηριστικά του ταλαντούμενου συστήματος.

Μονάδα μέτρησης της σταθεράς επαναφοράς (D) είναι το Ν/m.


Διαγράμματα

Συνισταμένη δύναμη σε συνάρτηση με την απομάκρυνση 

 


Από την κλίση της ευθείας, 
μέσω της εφαπτομένης της 
γωνίας θ, μπορούμε να 
υπολογίσουμε τη σταθερά 
επαναφοράς D.










Πριν προχωρήσεις βεβαιώσου ότι θυμάσαι τις εξισώσεις κίνησης 


Συνισταμένη δύναμη σε συνάρτηση με τον χρόνο

Από την σχέση ΣF−Dx  και βάζοντας x=Αημ(ωt) παίρνουμε: ΣF=−DΑημ(ωt)  ή   

ΣF=−Fmax  ημ(ωt)               όπου Fmax= DΑ.

Το διάνυσμα της δύναμης στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι ομόρροπο με αυτό της επιτάχυνσης.

Τώρα δες με βάση την σχέση που αποδείξαμε για την περίπτωση που ένα σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση (χωρίς αρχική φάση) το διάγραμμα της δύναμης σε σχέση με το χρόνο θα είναι:

Σχέση περιόδου (Τ) – σταθεράς επαναφοράς (D)

Θα δείξουμε ότι η περίοδος Τ της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη του πλάτους Α της ταλάντωσης και η τιμή της καθορίζεται από τη μάζα m του σώματος και από τη σταθερά επαναφοράς D.
(Μάθε την απόδειξη)
Σχόλια:
Η σχέση D = mω2  συνδέει τρεις βασικές ιδιότητες:  
  • Αδράνεια (m) του κινούμενου σώματος.
  • «Ελαστικότητα» (D) του συστήματος, η ικανότητά του δηλαδή να επανέρχεται στη ΘΙ.
  • Eπανάληψη (T, f   ή ω) της κίνησης, το «πόσο γρήγορα» δηλαδή επαναλαμβάνεται η κίνηση.

Αρκεί επομένως να γνωρίζουμε δύο από τις τρεις βασικές ιδιότητες του συστήματος, αφού από τη σχέση D = m·ω2 μπορούμε να βρούμε και την τρίτη.
Τονίζεται, ότι οι τιμές των m, D, ω εξαρτώνται μόνο από τα χαρακτηριστικά του συστήματος που μελετάμε και δεν εξαρτώνται από την ενέργεια, το πλάτος ή οποιοδήποτε άλλο μέγιστο της ΑΑΤ που μπορεί να εκτελεί το σύστημα αυτό.

Παρατηρήσεις σχετικά με τη σταθερά επαναφοράς D του συστήματος (σε κάποια θα αναφερθούμε αναλυτικότερα παρακάτω, αλλά διάβασε τα από τώρα):
  1. Η σταθερά D μπορεί να συμπίπτει με κάποιο άλλο φυσικό μέγεθος (όπως π.χ. στις ταλαντώσεις με ελατήρια όπου D = k), ή μπορεί να είναι συνδυασμός κάποιων φυσικών μεγεθών.
  2. Η σταθερά επαναφοράς προκύπτει και από τη διαδικασία που ακολουθούμε για να αποδείξουμε ότι ένα σώμα εκτελεί ΑΑΤ: Αποδεικνύοντας ότι ή συνισταμένη δύναμη ΣF είναι ανάλογη με την απομάκρυνση x, ότι ισχύει δηλαδή η σχέση ΣF = –D·x, υπολογίζουμε ταυτόχρονα και τη τιμή της σταθεράς D.
  3. Η σταθερά D είναι το μόνο μέγεθος που σχετίζεται με την πραγματική φύση του ταλαντούμενου συστήματος.
  4. Γενικότερα, αν σε ένα σύστημα ικανοποιείται η συνθήκη ΣF = –D·x τότε αυτό είναι ικανό να εκτελέσει AΑΤ, αλλά για να τη χαρακτηρίσουμε ΑΑΤ και να ισχύει και η ΑΔΜΕ, θα πρέπει πρώτα να εξασφαλίσουμε ότι οι δυνάμεις που απαρτίζουν τη δύναμη επαναφοράς είναι συντηρητικές.


Παρατηρήσεις σχετικά με τη δύναμη επαναφοράς:

Από τη σχέση ΣF = –D·x για ένα σώμα που εκτελεί ΑΑΤ μπορούμε για την δύναμη επαναφοράς να συνοψίσουμε τα εξής:
  1. Έχει ως φορέα την ευθεία πάνω στην οποία γίνεται η ταλάντωση του σώματος.
  2. Είναι ανάλογη µε την απομάκρυνση του σώματος από την Θέση Ισορροπίας.
  3. Έχει αντίθετη φορά από την απομάκρυνση του σώματος και πάντοτε προς την θέση ισορροπίας.
  4. Στην θέση ισορροπίας ισχύει ΣF = 0.



Σχόλια

  1. Φοβερη δουλεια !!! Ευχαριστω για την αναλυτικη περιγραφη :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Μια ερωτηση θα ηθελα να κανω. Οταν ενα ελατηριο εκτελει απλη αρμονικη ταλαντωση τοτε το χ στον τυπο F=-kx αποτυπωνει την αποσταση απο τη θ.φ.μ. ! Στον τυπο ομως ΣF=-Dx στην ιδια περιπτωση το χ αποτυπωνει την αποσταση απο τη θ.ι. ή απο τη θεση φ.μ.( οταν δεν συμπιπτει η θ.ι. με τη θεση φ.μ.)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Η συνθήκη ΣF=-Dx αναφέρεται στην ταλάντωση αρα το x το μετράμε απο την ΘΙΤ (θεση ισορροπίας ταλαντωσης). Ενώ η Fελ=kx αναφερεται στην δύναμη που ασκει το ελατηριο στο σωμα αρα σε οποιαδηποτε περίπτωση το x το μετραμε απο ΘΦΜ (θεση φυσικού μήκους).

      Διαγραφή
    2. Σας ευχαριστω πολυ, πολυ καλη η δουλεια σας!

      Διαγραφή
  3. τι διαφορα ακριβως εχει η δυναμη επαναφορας με τη δυναμη ελατηριου;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Η δύναμη επαναφοράς ειναι η συνισταμένη δυναμη που ασκείται στο σωμα (για παράδειγμα στο κατακορυφο ελατήριο αποτελείται απο την δύναμη του ελατηριου και το βαρος). Ενω η δυναμη του ελατηριου ειναι αποκλειστικά αυτη που αναπτύσσεται απο το ελατηριο. Στην πιο απλή περίπτωση ταλαντωσης, στο οριζοντιο επιπεδο (οπου δεν ασκουνται αλλες δυναμεις στην διευθυνση της κινησης) η δύναμη επαναφοράς ειναι ιση με τη δυναμη του ελατηριου. Ελπιζω να σε βοήθησα.

      Διαγραφή
    2. ευχαριστω πολυ!

      Διαγραφή
  4. σε περιπτωση που εχουμε συστημα ελατηριων με νημα και τροχαλια τι κανουμε?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αυτο που αναφέρεις είναι πολύ γενικό, αν εχεις κάποια συγκεκριμένη ασκηση στο μυαλό σου μπορεις να μου τη στείλεις στο mail μου.

      Διαγραφή
  5. Όταν γράψουμε τον 2ο νόμο του Νεύτωνα σε αλγεβρική μορφή (πχ στην ΑΑΤ) ποια θα θεωρούμε θετική φορά?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Μπορείς να ορίσεις ως θετική φορά οποιαδήποτε θέλεις, αλλά συνήθως ορίζουμε την προς τα δεξιά.

      Διαγραφή
  6. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά στοιχεία μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης;Ποιό είναι το κριτήριο ώστε σώμα κινούμενο να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση;Ευχαριστω πολυ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Απο τι εξαρταται το πλατος μιας αατ?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Το πλάτος εξαρταται αποκλειστικά απο την ενέργεια που προσφέρουμε στον ταλαντωτη ωστε να εκτελέσει αατ. Ο τυπος της ενεργειας ειναι: Ε=DA^2/2. Επισης, ακολουθήστε το λινκ για περισσότερες πληροφορίες. http://www.g-physics.com/2012/08/blog-post.html

      Διαγραφή
  8. Η Fελmax μετά από κρούση και ταλάντωση το F=-Kl με l=; Το καινούργιο Α ή είναι κάτι με τα l ?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Η Fελ δίνεται απο τη σχέση Fελ=KΔl όπου Δl είναι η απόσταση απο τη θεση που έχει βρεθεί το ελατήριο (συμπίεση ή επιμήκυνση) σε σχέση με τη θέση που το ελατήριο εχει το φυσικό του μηκος. Αν το ελατηριο ειναι οριζοντιο και δεν ασκούνται αλλες δυνάμεις στη διεύθυνση του ελατηριου τοτε Fελmax=kA' οπως γραφεις. Αν το ελατηριο ειναι κατακορυφο τοτε Fλεmax=k(Δl+A') με Δl η αποσταση μεταξυ φυσικου μηκους και θεσης ισορροπιας.

      Διαγραφή
  9. όταν μας ζητείται η Fελ min σε οριζόντιο ή κατακόρυφο ελατήριο τι ισχύει;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Στη σχεση D=mω^2 αν αλλαξουμε το ω (αυξησουμε η μειωσουμε) τι γινεται ακριβως;;
    Το D(=k στην περιπτωση ελατηριο-σωμα) δεν γινεται να αλλαξει καθως εξαρταται απο τα φυσικα χαρακτηριστικα του ταλαντωτη. αλλαζει η μαζα δλδ προκειμενου να ειναι σταθερο το γινομενο;;
    Αν σε αλλη περιπτωση μεταβαλλουμε τη μαζα τι γινεται παλι;;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Αλλάζοντας το ω σε μια ιδανική ταλάντωση προφανώς θα μεταβληθεί η σταθερά επαναφοράς D, με δεδομένο οτι η μάζα δεν μπορεί να αλλάξει.

      Διαγραφή
  11. Για το έργο της συνισταμένης δύναμης που δέχεται ένα ταλαντούμενο σώμα τι ισχυει;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Οτι ισχύει σε κάθε συντηρητική δύναμη W=-ΔU=Uτ(αρχ)-Uτ(τελ)

      Διαγραφή
  12. Πολυ βοηθητικο! Εχω μια ερωτηση! Αν το ταλαντουμενο σωμα συγκρουστει με ενα αλλο και δημιουργηθει συσσωματωμα, η σταθερα επαναφορας μενει σταθερη, και αλλαζει η γωνιακη συχνοτητα ω? Επισης, καθε σωμα του συσσωματωματος εχει διαφορετικη σταθερα επαναφορας?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ισχυουν οπως τα περιγράφεις. Κάθε σωμα θα έχει δικη του σταθερά και θα την υπολογίζεις απο τη γνωστή σχέση D=mω^2 με κοινό στοιχείο τη γωνιακή συχνότητα (για επαλήθευση να εχεις στο μυαλό σου D=D1+D2).

      Διαγραφή
  13. Συγχαρητήρια και από εμένα!! Μια ερώτηση μόνο σχετικά με το έργο των συντηρητικών δυνάμεων. Στις ταλαντώσεις υπολογίζεται το WFελ=Uελαρχ-Uελτελ. Ο τύπος αυτός με τη διαφορά δυναμικών ενεργειών του ελατηρίου δηλώνει ότι η Fελ είναι συντηρητική δύναμη; Γιατί;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σε ευχαριστώ για τα λόγια σου. Μια δύναμη καλείται συντηρητική όταν συντηρεί την ενέργεια, για να συμβαίνει κατι τετοιο δεν πρέπει να υπάρχουν απώλειες αρα οι δυνάμεις που αναπτύσσονται πρέπει να είναι «ελαστικές» κάτι το οποίο ισχύει εξορισμού για τα ελατήρια που είναι ιδανικα. :-)

      Διαγραφή
    2. Ναι σωστά, σας ευχαριστώ πολύ! :)

      Διαγραφή

Δημοσίευση σχολίου

Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) Εξισώσεις κίνησης

Περιοδικά ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Π.χ. ομαλή κυκλική κίνηση, κίνηση εκκρεμούς, περιστροφή γης γύρω από τον ήλιο κ.ά.
(Σκέψου μερικά ακόμη…)
Στοιχεία περιοδικής κίνησης Κάθε περιοδική κίνηση χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω τρία στοιχειά:
Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου ή ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του φαινομένου.
Η περίοδος είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα μέτρησής της είναι το 1 sec.

Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο θα δίνεται από το σταθερό πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου σε κάποιο χρόνο t, προς το χρόνο αυτό.Δηλαδή: Η συχνότητα είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης το 1 sec-1 ή 1 κύκλος/sec ή 1 Hz (Hertz).



Σχέση μεταξύ περιόδου – συχνότητας Επειδή σε χρόνο t ίσο με μια περίοδο Τ έχουμε μια επανάληψη (Ν=1) του φαινομένου έχουμ…

Ενέργεια Ταλάντωσης

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε (ή ολική ενέργεια) ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισούται με την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε κίνηση (ταλάντωση). 




Η ενέργεια αυτή θα δίνεται από τη σχέση:  Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι το πλάτος Α καθορίζεται από την ενέργεια της ταλάντωσης, δηλαδή από την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα ώστε να αρχίσει να ταλαντώνεται. Σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια παραμένει σταθερή. Η ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους της.

Απόδειξη της παραπάνω σχέσης. Αν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στην θέση ισορροπίας, για να μετακινηθεί σε µια άλλη θέση πρέπει να του ασκηθεί κατάλληλη εξωτερική δύναμη Fεξ . Κατά την μετακίνηση αυτή θα ασκείται στο σώμα και η δύναμη επαναφοράς. 

Για να μετακινηθεί το σώμα στην θέση (x) θα πρέπει το μέτρο της εξωτερικής δύναμης να είναι ίσο µε το μέτρο της δύναμης επαναφοράς και να έχει αντίθετη φορά, σε κάθε χρονι…

Ταλάντωση και Ελατήριο

Ελατήριο ονομάζεται ένα μηχανικό εξάρτημα το οποίο έχει την ικανότητα να αποθηκεύει μηχανική ενέργεια παραμορφώμενο προσωρινά. Συνήθως το σχήμα είναι ελικοειδές, αλλά υπάρχουν και ελατήρια σε σχήμα ράβδου, οι σούστες.
Το κάθε ελατήριο μπορεί να παραμορφωθεί ως προς μία διάστασή του υπό την επίδραση δύναμης. Όταν ασκείται δύναμη σε αυτήν τη διάσταση, το ελατήριο παραμορφώνεται αποθηκεύοντας το έργο της δύναμης.
Ιδανικό ελατήριο Σε ιδανικά θεωρητικά ελατήρια ισχύει απόλυτα ο νόμος του Hook, δε χάνεται ενέργεια στο περιβάλλον και τα ελατήρια μπορούν πάντα να επιστρέψουν στο αρχικό τους μήκος. Επίσης η μάζα του ιδανικού ελατηρίου θεωρείται αμελητέα. [Στην πραγματικότητα χάνεται μικρό ποσό ενέργειας στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια, ενώ η παραμόρφωση μπορεί να γίνει μόνιμη. Κάθε ελατήριο έχει κάποια όρια αντοχής αν τα υπερβούν θα παραμορφωθεί ή θα σπάσει. Επιπλέον, με την επαναλαμβανόμενη χρήση το υλικό χάνει τις ιδιότητές του λόγω μηχανικής κόπωσης και αν δεν αντικατασταθεί θα σπάσει.]

Νόμο…

Θέματα πανελληνίων εξετάσεων: Ταλαντώσεις

Τα θέματα των πανελληνίων μπορείς να τα δεις κι εδώ, αλλά σ’ αυτό το αρχείο θα βρεις όλα τα θέματα από το 2001 ως το 2012 τα οποία αναφέρονται στις ταλαντώσεις, αποκλειστικά,  μηχανικές, ηλεκτρικές. Καλή δουλειά σου εύχομαι.