Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

Ενέργεια Ταλάντωσης



Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε (ή ολική ενέργεια) ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισούται με την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε κίνηση (ταλάντωση). 




Η ενέργεια αυτή θα δίνεται από τη σχέση: 
Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι το πλάτος Α καθορίζεται από την ενέργεια της ταλάντωσης, δηλαδή από την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα ώστε να αρχίσει να ταλαντώνεται. Σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια παραμένει σταθερή.
Η ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους της.


Απόδειξη της παραπάνω σχέσης.
Αν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στην θέση ισορροπίας, για να μετακινηθεί σε µια άλλη θέση πρέπει να του ασκηθεί κατάλληλη εξωτερική δύναμη Fεξ . Κατά την μετακίνηση αυτή θα ασκείται στο σώμα και η δύναμη επαναφοράς. 


Για να μετακινηθεί το σώμα στην θέση (x) θα πρέπει το μέτρο της εξωτερικής δύναμης να είναι ίσο µε το μέτρο της δύναμης επαναφοράς και να έχει αντίθετη φορά, σε κάθε χρονική στιγμή. 

Δηλαδή θα πρέπει να ισχύει: Fεξ = −F = − (−Dx) = Dx

Σημείωση: Αφού η δύναμη επαναφοράς είναι μεταβλητή τότε και η εξωτερική δύναμη πρέπει να μεταβάλλεται με ανάλογο τρόπο.

Το έργο της εξωτερικής δύναμης είναι ίσο και µε την προσφερόμενη ενέργεια για να απομακρύνουμε το σώμα κατά x από την θέση ισορροπίας. Επειδή η δύναμη είναι μεταβλητού μέτρου το έργο της υπολογίζεται από το εμβαδόν της γραφικής παράστασης Fεξ  = f (x).

Από το εμβαδόν προκύπτει η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα και αποθηκεύεται σε αυτό ως ενέργεια ταλάντωσης:


Κινητική – Δυναμική ενέργεια

Στη διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια ταλάντωσης εμφανίζεται ως κινητική ενέργεια Κ και ως δυναμική ενέργεια U ταλάντωσης. Ισχύουν:


Σε κάθε θέση της ταλάντωσης ισχύει η Αρχή Διατήρησης Ενέργειας Ταλάντωσης  (Α.Δ.Ε.Τ.)




(Δες την απόδειξη στο σχολικό βιβλίο σελίδα 13)

Με την ενέργεια ταλάντωσης:  

Οι σχέσεις της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας αν λάβουμε υπόψη τις εξισώσεις κίνησης γίνονται: 


Παρατήρηση: Αν η ταλάντωση έχει αρχική φάση τότε στις παραπάνω σχέσεις πρέπει να το λάβουμε υπόψη μας.



Επομένως πραγματοποιείται μετατροπή της κινητικής ενέργειας σε δυναμική και αντίστροφα. Δες το στο βίντεο. 




Μια σύντομη περιγραφή της ταλάντωσης ενεργειακά. Κατανόησε το.
  • Όταν ένα σώμα που κάνει ταλάντωση βρίσκεται στη θέση μέγιστης απομάκρυνσής του (πλάτος), στις ακραίες θέσεις δηλαδή η μοναδική ενέργεια που έχει είναι η δυναμική ενέργεια. Καθώς το σώμα πλησιάζει προς τη θέση ισορροπίας, μειώνεται σταδιακά η δυναμική του ενέργεια και ταυτόχρονα μετατρέπεται σε κινητική με αποτέλεσμα να αυξάνει η κινητική ενέργεια του σώματος. Όταν φτάσει στη θέση ισορροπίας η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος είναι μηδέν, ενώ η κινητική είναι μέγιστη. Όταν συνεχίζει προς την άλλη ακραία θέση της ταλάντωσης συμβαίνει το αντίθετο.
  • Κατά τη διάρκεια μιας ταλάντωσης δηλαδή, συμβαίνει περιοδική μετατροπή της δυναμικής σε κινητική ενέργεια και το αντίστροφο.
  • Σε  κάθε θέση της ταλάντωσης το άθροισμα της κινητικής ενέργειας Κ και της δυναμικής ενέργειας U παραμένει σταθερό εφόσον η ταλάντωση θεωρείται αμείωτη και ίσο με τη μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης Ε, δηλαδή σε κάθε θέση ισχύει:  Ε= Κ + U
  • Η μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης ισούται με την ενέργεια που προσφέραμε στο σώμα που ταλαντώνεται όταν το εκτρέψαμε από τη θέση ισορροπίας του αρχικά.

Δες κι αυτό το βίντεο που έχει τα πάντα (σχεδόν), απομάκρυνση, τριγωνομετρικό κύκλο , ενέργειες. Σε fullscreen οπωσδήποτε.


Διαγράμματα
Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι η κινητική και η δυνητική ενέργεια ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μεταβάλλονται περιοδικά µε τον χρόνο. Οι γραφικές παραστάσεις της Κινητικής, της ∆υναμικής και της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης σε συνάρτηση µε τον χρόνο φαίνονται στο διάγραμμα του παρακάτω σχήματος:


Στην περίπτωση που ένα σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση (με ή χωρίς αρχική φάση) τα διαγράμματα της ολικής, της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης σε σχέση με την απομάκρυνση του σώματος είναι:

Το οποίο προκύπτει από τη σχέση: Ε= Κ + U   ή   Κ= Ε - U   ή   Κ= Ε - Dx2/2

Δες κι αυτό. 


Σχόλια:
  • Η ΑΔΕΤ είναι σημαντική σχέση με τη βοήθεια της μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε ταχύτητα, θέση, πλάτος, σταθερά επαναφοράς και επίσης μπορούμε να απαντήσουμε σε ερωτήματα: «Σε ποια θέση είναι η Κ είναι ίση με τη U ή σε ποια θέση ισχύει Κ=3U» κλπ.

  • Μπορώ να βρω σχέση μεταξύ ταχύτητας u και απομάκρυνσης  x κάποια χρονική στιγμή t  από τις ενέργειες:          

  • Το πρόσημο (+) αντιστοιχεί στη διέλευση του ταλαντωτή από ένα σημείο της τροχιάς του με κίνηση κατά τη θετική κατεύθυνση, ενώ το πρόσημο (-) αντιστοιχεί στη διέλευση του ταλαντωτή από το ίδιο σημείο με κίνηση κατά την αρνητική κατεύθυνση. 
  • Ο ταλαντωτής περνάει με ταχύτητα ίδιου μέτρου από δύο σημεία της τροχιάς του, συμμετρικά ως προς τη θέση ισορροπίας του (x και –x). Άρα τέσσερις χρονικές στιγμές, μέσα σε μία περίοδο, ο ταλαντωτής έχει την ίδια κατά μέτρο ταχύτητα. 

Ρυθμοί μεταβολής στην απλή αρμονική ταλάντωση:
  • Ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του ταλαντευόμενου σώματος: du/dt = α = -ω2x
  • Ρυθμός μεταβολής της ορμής του ταλαντευόμενου σώματος: dp/dt = F = -Dx
  • Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ταλάντωσης: dK/dt = Fu = -Dxu
  • Ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης: K+U=E ή dK/dt + dU/dt = 0 ή dU/dt = - dK/dt ή dU/dt= -Fu = + Dxu

  • Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου (οχι της ταλάντωσης) όταν βρίσκεται σε επιμήκυνση (ή συσπείρωση) κατά x (μετρημένη από την θέση φυσικού μήκους Θ.Φ.Μ.) δίνεται από τον τύπο Uελ=kx2/2
  • Το έργο της δύναμης του ελατηρίου όταν μετακινούμε την ελεύθερη άκρη του ελατηρίου από μία θέση με συσπείρωση (ή επιμήκυνση) κατά x1 σε μία θέση με συσπείρωση (ή επιμήκυνση) κατά x2 υπολογίζεται πάντα ως εξής:


  • Το έργο της δύναμης του ελατηρίου που το άκρο του μετακινείται από μία αρχική θέση x1 σε μία τελική θέση x2 είναι ίσο με την διαφορά αρχικής μείον τελικής δυναμικής ενέργειας ελατηρίου. [Ο τύπος αυτός ισχύει ΠΑΝΤΑ για το έργο δύναμης ελατηρίου όποια και να είναι η αρχική και η τελική θέση του ελατηρίου.] 


    Στο διπλανό σχήμα το σώμα βρίσκεται σε κάποια τυχαία θέση x2 κατά την διάρκεια της ταλάντωσής του. Τότε έχουμε:
    Ενέργεια ελατηρίου: Uελk(x1+x2)2/2
    Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης: Uk(x2)2/2



    Επίσης θυμήσου:
    Δύναμη ελατηρίου (μέτρο)Fελ = k(x1 + x2)
    Δύναμη επαναφοράς ή ταλάντωσης (μέτρο): ΣF = Dx2 = kx2


    Μετά: 
    Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) Εξισώσεις κίνησης.

    Σχόλια

    1. Πως θα υπολογίζαμε την ενέργεια παραμόρφωσης αν είχαμε 2 ελατήρια ενωμένα στη μία μεριά (η άλλη μεριά τους σε σταθερό σημείο) και τραβούσαμε το σημείο ένωσης έτσι ώστε να μετατοπισθεί κάθετα στην ευθεία που σχηματίζουν τα ελατήρια σε κατάσταση ηρεμίας; Θα ισχυεί πάλι U=1/2 k x^2;; Όπου χ θα είναι η μετατόπιση του σημείου ένωσης των ελατηρίων;

      ΑπάντησηΔιαγραφή

    Δημοσίευση σχολίου

    Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

    Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) Εξισώσεις κίνησης

    Περιοδικά ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Π.χ. ομαλή κυκλική κίνηση, κίνηση εκκρεμούς, περιστροφή γης γύρω από τον ήλιο κ.ά.
    (Σκέψου μερικά ακόμη…)
    Στοιχεία περιοδικής κίνησης Κάθε περιοδική κίνηση χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω τρία στοιχειά:
    Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου ή ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του φαινομένου.
    Η περίοδος είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα μέτρησής της είναι το 1 sec.

    Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο θα δίνεται από το σταθερό πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου σε κάποιο χρόνο t, προς το χρόνο αυτό.Δηλαδή: Η συχνότητα είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης το 1 sec-1 ή 1 κύκλος/sec ή 1 Hz (Hertz).



    Σχέση μεταξύ περιόδου – συχνότητας Επειδή σε χρόνο t ίσο με μια περίοδο Τ έχουμε μια επανάληψη (Ν=1) του φαινομένου έχουμ…

    Ταλάντωση και Ελατήριο

    Ελατήριο ονομάζεται ένα μηχανικό εξάρτημα το οποίο έχει την ικανότητα να αποθηκεύει μηχανική ενέργεια παραμορφώμενο προσωρινά. Συνήθως το σχήμα είναι ελικοειδές, αλλά υπάρχουν και ελατήρια σε σχήμα ράβδου, οι σούστες.
    Το κάθε ελατήριο μπορεί να παραμορφωθεί ως προς μία διάστασή του υπό την επίδραση δύναμης. Όταν ασκείται δύναμη σε αυτήν τη διάσταση, το ελατήριο παραμορφώνεται αποθηκεύοντας το έργο της δύναμης.
    Ιδανικό ελατήριο Σε ιδανικά θεωρητικά ελατήρια ισχύει απόλυτα ο νόμος του Hook, δε χάνεται ενέργεια στο περιβάλλον και τα ελατήρια μπορούν πάντα να επιστρέψουν στο αρχικό τους μήκος. Επίσης η μάζα του ιδανικού ελατηρίου θεωρείται αμελητέα. [Στην πραγματικότητα χάνεται μικρό ποσό ενέργειας στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια, ενώ η παραμόρφωση μπορεί να γίνει μόνιμη. Κάθε ελατήριο έχει κάποια όρια αντοχής αν τα υπερβούν θα παραμορφωθεί ή θα σπάσει. Επιπλέον, με την επαναλαμβανόμενη χρήση το υλικό χάνει τις ιδιότητές του λόγω μηχανικής κόπωσης και αν δεν αντικατασταθεί θα σπάσει.]

    Νόμο…

    Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) - Συνισταμένη Δύναμη

    Από την Α΄ Λυκείου γνωρίζεις τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (2ος νόμος του Newton), ΣF=mα. Επίσης, όπως γνωρίζεις για να υπάρχει επιτάχυνση πρέπει να υπάρχει και δύναμη που ασκείται σε κάποιο σώμα. Στην Α.Α.Τ. ισχύει α=-ω2x, ο συνδυασμός αυτών των δυο σχέσεων δίνει τη σχέση: 
    ΣF=-m ω2x Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την Θ.Ι. της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από την Θ.Ι. η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. (Για το λόγο αυτό, ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης). Επίσης, στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ΣF είναι μεγίστη.


    Στο βίντεο δες το διάνυσμα της δύναμης επαναφοράς (είναι πάντα προς την θέση ισορροπίας). 



    Αν συμβολίσουμε το γινόμενο mω2 με D (που είναι σταθερό για κάθε ταλαντωτή), δηλαδή D = mω2
    Τότε θα έχουμε τη σχέση που δίνει τη δύναμη:F = −Dx (Μάθε την απόδειξη)

    Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και σαν συν…

    Θέματα πανελληνίων εξετάσεων: Ταλαντώσεις

    Τα θέματα των πανελληνίων μπορείς να τα δεις κι εδώ, αλλά σ’ αυτό το αρχείο θα βρεις όλα τα θέματα από το 2001 ως το 2012 τα οποία αναφέρονται στις ταλαντώσεις, αποκλειστικά,  μηχανικές, ηλεκτρικές. Καλή δουλειά σου εύχομαι.