Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) Εξισώσεις κίνησης


Περιοδικά ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Π.χ. ομαλή κυκλική κίνηση, κίνηση εκκρεμούς, περιστροφή γης γύρω από τον ήλιο κ.ά.
(Σκέψου μερικά ακόμη…)

Στοιχεία περιοδικής κίνησης
Κάθε περιοδική κίνηση χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω τρία στοιχειά:

Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου ή ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του φαινομένου.

Η περίοδος είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα μέτρησής της είναι το 1 sec.


Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο θα δίνεται από το σταθερό πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου σε κάποιο χρόνο t, προς το χρόνο αυτό.Δηλαδή:    
 
Η συχνότητα είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης το 1 sec-1 ή 1 κύκλος/sec ή 1 Hz (Hertz).




Σχέση μεταξύ περιόδου – συχνότητας
Επειδή σε χρόνο t ίσο με μια περίοδο Τ έχουμε μια επανάληψη (Ν=1) του φαινομένου έχουμε:
(Μάθε την απόδειξη)
(Σκέψου για την περίοδο της γης γύρο από τον εαυτό της και γύρω από τον ήλιο)
 
Η κυκλική (ή γωνιακή) συχνότητα (ω) είναι το μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα και εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων ενός φαινομένου σε χρόνο 2π sec. Η κυκλική συχνότητα είναι μονόμετρο μέγεθος και είναι ίση με το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας στην ομαλή κυκλική κίνηση. Έτσι ισχύουν οι σχέσεις:
Μονάδα μέτρησης της κυκλικής συχνότητας είναι το 1rad/sec.

(Θυμήσου τα πολλαπλάσια… 1ΚHz = 103Hz, 1MHz = 106Hz…)


Σχόλιο:


Στην κυκλική κίνηση ορίζεται το διανυσματικό μέγεθος, γωνιακή ταχύτητα με μέτρο ω=dφ/dt. Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας που έχει ως κυκλική κίνηση είναι ίσο με τη γωνιακή συχνότητα που έχει ως περιοδική κίνηση.



Εξισώσεις στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ)

Ταλάντωση λέγεται κάθε περιοδική κίνηση ενός σώματος κατά την οποία το σώμα κινείται παλινδρομικά μεταξύ δύο ακραίων θέσεων (π.χ. εκκρεμές, σώμα κρεμασμένο από ελατήριο).

Μεταξύ των δύο αυτών ακραίων θέσεων υπάρχει μια θέση στην οποία αν σταματήσουμε το σώμα, αυτό θα ακινητοποιηθεί μόνιμα. Η θέση αυτή λέγεται θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) του ταλαντωτή και στη θέση αυτή η συνισταμένη των δυνάμεων θα είναι ίση με μηδέν (ΣF=0).

(Για να δεις ακόμη μια αρμονική κίνηση εδώ)

Γραμμική χαρακτηρίζεται η ταλάντωση όπου η κίνηση του ταλαντωτή είναι ευθύγραμμη (π.χ. σώμα δεμένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου).


Απομάκρυνση (x) ονομάζουμε την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του.

Πλάτος (Α) ονομάζουμε τη μέγιστη τιμή της απομάκρυνσης του σώματος.


Γραμμική ή απλή αρμονική ταλάντωση (Γ.Α.Τ.) λέγεται η ταλάντωση ενός σώματος που η απομάκρυνσή του είναι ημιτονοειδής (αρμονική) συνάρτηση του χρόνου.



Μην βιαστείς να «περάσεις» γρήγορα το σχήμα… σχεδίασε το μόνος σου και σκέψου, αφού η κίνηση χωρίζεται σε τέσσερα τεταρτημόρια ποια συμπεράσματα μπορείς να βγάλεις για την απόσταση και τον χρόνο… αν δεν τα καταφέρνεις δες παρακάτω τα σχόλια και τις παρατηρήσεις μου.



Κινηματική προσέγγιση

Εξίσωση απομάκρυνσης – χρόνου (x-t)

Έστω ένα σώμα που κινείται παλινδρομικά πάνω σ΄ ένα άξονα γύρω από την αρχή Ο του άξονα. Αν το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, η απομάκρυνσή του (x) σε σχέση με το χρόνο θα δίνεται από τη σχέση:

Η γωνία φ = ωt που η τιμή της καθορίζει την τιμή της απομάκρυνσης του σώματος τη χρονική στιγμή t ονομάζεται φάση της ταλάντωσης. Όπως παρατηρούμε η φάση είναι ανάλογη του χρόνου άρα η γραφική παράσταση της θα είναι της μορφής:





Εξίσωση ταχύτητας – χρόνου (υ-t)

Η ταχύτητα του σώματος κάθε χρονική στιγμή θα δίνεται από τη σχέση:

όπου υmax η μέγιστη ταχύτητα του σώματος και είναι στην Θ.Ι.

Εξίσωση επιτάχυνσης – χρόνου (α-t)

Η επιτάχυνση του σώματος κάθε χρονική στιγμή θα δίνεται από τη σχέση:


όπου αmax η μέγιστη επιτάχυνση του σώματος και είναι στις ακραίες θέσεις


Σχόλια:
  • Η σχέση α =-ω2x  μας δείχνει ότι στην απλή αρμονική ταλάντωση η επιτάχυνση έχει πάντοτε αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση.
  • Η επιτάχυνση έχει φορά πάντα προς τη θέση ισορροπίας.
  • Η σχέση α =-ω2x  είναι εξίσωση ευθείας και η γραφική της παράσταση φαίνεται παρακάτω.
  • Από την κλίση της διπλανής ευθείας, μέσω της εφαπτομένης της γωνίας θ, μπορούμε να υπολογίσουμε το ω2.




Σημαντικό:  Όλες οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν μόνο στην περίπτωση που το σώμα τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του και η ταχύτητά του είναι υ > 0 , δηλαδή κινείται προς τα θετικά του άξονα.

Σε κάθε άλλη περίπτωση οι σχέσεις γίνονται:


όπου φο είναι η φάση της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t = 0 και ονομάζεται αρχική φάση της ταλάντωσης.
Για την αρχική φάση ισχύει: 

Έτσι στην περίπτωση που δεν έχουμε αρχική φάση, η φάση της ταλάντωσης είναι φ=ωt, ενώ όταν έχουμε αρχική φάση είναι φ = ωt + φο .

Από την κλίση της ευθείας μέσω της εφαπτομένης της γωνίας μπορούμε να υπολογίσουμε την κυκλική συχνότητα.



Διαγράμματα

Στην περίπτωση που ένα σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση (χωρίς αρχική φάση) τα διαγράμματα της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο είναι:


Στο παρακάτω σχήμα θα προσδιορίσουμε το πρόσημο (διάνυσμα) της απομάκρυνσης (x), της ταχύτητας (υ) και της επιτάχυνσης (α). Ορίζοντας θετική φορά προς τα δεξιά και με την βοήθεια των εξισώσεων κίνησης που είδαμε παραπάνω (δες και τα διαγράμματα) έχουμε:
 
Παρακάτω σου παρουσιάζω τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών καθώς και την φάση με τον χρόνο σε συγκεκριμένες θέσεις.

Παρακάτω μπορείς να δεις πως μεταβάλλονται τα διανύσματα (x, υ, α) σε μια ταλάντωση ενός ελατηρίου. (Ελατήρια θα δούμε αργότερα αλλά η λογική είναι ίδια). Παρατήρησε πως αλλάζουν φορά τα διανύσματα όταν διέρχεται το σώμα από την Θ.Ι. και τις ακραίες θέσεις.  
  
 
Επίσης δες πως συνδέεται η ΑΑΤ με τον τριγωνομετρικό κύκλο. 
Δες κι αυτό.




Σχόλια:
  • Αν σε χρόνο t γίνονται Ν επαναλήψεις του φαινομένου, η περίοδος είναι ίση με το πηλίκο Τ =t/N
  • Σε μια πλήρη ταλάντωση: Διάστημα S=4A, χρόνος t=T.
  • Μεταξύ των ακραίων θέσεων: Απόσταση d=2A, χρόνος t=T/2
  • Δεν πρέπει να συγχέουμε την απομάκρυνση (x), την μετατόπιση (Δx=x2-x1) και το διάστημα (S)
  • Η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι αλγεβρικά μεγέθη οπότε πρέπει να προσέχουμε το πρόσημο τους.
  • Η μόνη περίπτωση στην οποία δεν υπάρχει αρχική φάση είναι όταν t=0, x=0 και υ>0, Σε κάθε άλλη κατάσταση υπολογίζουμε πάντα την αρχική φάση.
  • Την αρχική φάση (φο) την προσδιορίζουμε από τις εξισώσεις κίνησης.   
  • Η φάση συνεχώς αλλάζει με το χρόνο (θυμήσου φ=ωt+φο). 
  • Τον χρόνο τον υπολογίζουμε από τις εξισώσεις κίνησης.
  • Από την εξίσωση x = Αημ(ωt + φο), για x = x1 θα παίρνουμε δύο λύσεις t1 και t2  (θετικές) με t1< t2 , στη διάρκεια της πρώτης περιόδου. Η λύση t1 αντιστοιχεί στην 1η διέλευση του ταλαντωτή από τη θέση x1 και η λύση t2 στη 2η διέλευση του ταλαντωτή από τη θέση x1 .
  • Η φάση της ταχύτητας (υ) προηγείται της φάσης της απομάκρυνσης (x) κατά π/2rad. Η φυσική σημασία αυτής της διαφοράς είναι ότι, αν η ταχύτητα έχει τη μέγιστη θετική της τιμή, η απομάκρυνση x θα πάρει τη μέγιστη θετική τιμή της μετά από χρόνο Δt που αντιστοιχεί στη γωνία Δφ = π/2rad. Δηλαδή μετά από χρόνο που δίνεται από τη σχέση  Δφ = 2πt/Τ ή  t =Τ/4.

    Το ίδιο ισχύει και για τη φάση της επιτάχυνσης (α) με τη φάση της ταχύτητας (u).

    Επίσης η φάση της επιτάχυνσης  (α) προηγείται της φάσης της απομάκρυνσης (x) κατά π rad. Η φυσική σημασία αυτής της διαφοράς είναι ότι, αν η επιτάχυνση έχει τη μέγιστη θετική της τιμή, η απομάκρυνση x θα πάρει τη μέγιστη θετική τιμή της μετά από χρόνο Δt που αντιστοιχεί στη γωνία Δφ = πrad. Δηλαδή μετά από χρόνο που δίνεται από τη σχέση  σχέση  Δφ = 2πt/Τ ή  t =Τ/2.

Σχόλια

Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

Ενέργεια Ταλάντωσης

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε (ή ολική ενέργεια) ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισούται με την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε κίνηση (ταλάντωση). 




Η ενέργεια αυτή θα δίνεται από τη σχέση:  Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι το πλάτος Α καθορίζεται από την ενέργεια της ταλάντωσης, δηλαδή από την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα ώστε να αρχίσει να ταλαντώνεται. Σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια παραμένει σταθερή. Η ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους της.

Απόδειξη της παραπάνω σχέσης. Αν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στην θέση ισορροπίας, για να μετακινηθεί σε µια άλλη θέση πρέπει να του ασκηθεί κατάλληλη εξωτερική δύναμη Fεξ . Κατά την μετακίνηση αυτή θα ασκείται στο σώμα και η δύναμη επαναφοράς. 

Για να μετακινηθεί το σώμα στην θέση (x) θα πρέπει το μέτρο της εξωτερικής δύναμης να είναι ίσο µε το μέτρο της δύναμης επαναφοράς και να έχει αντίθετη φορά, σε κάθε χρονι…

Ταλάντωση και Ελατήριο

Ελατήριο ονομάζεται ένα μηχανικό εξάρτημα το οποίο έχει την ικανότητα να αποθηκεύει μηχανική ενέργεια παραμορφώμενο προσωρινά. Συνήθως το σχήμα είναι ελικοειδές, αλλά υπάρχουν και ελατήρια σε σχήμα ράβδου, οι σούστες.
Το κάθε ελατήριο μπορεί να παραμορφωθεί ως προς μία διάστασή του υπό την επίδραση δύναμης. Όταν ασκείται δύναμη σε αυτήν τη διάσταση, το ελατήριο παραμορφώνεται αποθηκεύοντας το έργο της δύναμης.
Ιδανικό ελατήριο Σε ιδανικά θεωρητικά ελατήρια ισχύει απόλυτα ο νόμος του Hook, δε χάνεται ενέργεια στο περιβάλλον και τα ελατήρια μπορούν πάντα να επιστρέψουν στο αρχικό τους μήκος. Επίσης η μάζα του ιδανικού ελατηρίου θεωρείται αμελητέα. [Στην πραγματικότητα χάνεται μικρό ποσό ενέργειας στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια, ενώ η παραμόρφωση μπορεί να γίνει μόνιμη. Κάθε ελατήριο έχει κάποια όρια αντοχής αν τα υπερβούν θα παραμορφωθεί ή θα σπάσει. Επιπλέον, με την επαναλαμβανόμενη χρήση το υλικό χάνει τις ιδιότητές του λόγω μηχανικής κόπωσης και αν δεν αντικατασταθεί θα σπάσει.]

Νόμο…

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) - Συνισταμένη Δύναμη

Από την Α΄ Λυκείου γνωρίζεις τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (2ος νόμος του Newton), ΣF=mα. Επίσης, όπως γνωρίζεις για να υπάρχει επιτάχυνση πρέπει να υπάρχει και δύναμη που ασκείται σε κάποιο σώμα. Στην Α.Α.Τ. ισχύει α=-ω2x, ο συνδυασμός αυτών των δυο σχέσεων δίνει τη σχέση: 
ΣF=-m ω2x Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την Θ.Ι. της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από την Θ.Ι. η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. (Για το λόγο αυτό, ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης). Επίσης, στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ΣF είναι μεγίστη.


Στο βίντεο δες το διάνυσμα της δύναμης επαναφοράς (είναι πάντα προς την θέση ισορροπίας). 



Αν συμβολίσουμε το γινόμενο mω2 με D (που είναι σταθερό για κάθε ταλαντωτή), δηλαδή D = mω2
Τότε θα έχουμε τη σχέση που δίνει τη δύναμη:F = −Dx (Μάθε την απόδειξη)

Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και σαν συν…

Θέματα πανελληνίων εξετάσεων: Ταλαντώσεις

Τα θέματα των πανελληνίων μπορείς να τα δεις κι εδώ, αλλά σ’ αυτό το αρχείο θα βρεις όλα τα θέματα από το 2001 ως το 2012 τα οποία αναφέρονται στις ταλαντώσεις, αποκλειστικά,  μηχανικές, ηλεκτρικές. Καλή δουλειά σου εύχομαι.