Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

Ταλάντωση και Ελατήριο


Ελατήριο ονομάζεται ένα μηχανικό εξάρτημα το οποίο έχει την ικανότητα να αποθηκεύει μηχανική ενέργεια παραμορφώμενο προσωρινά. Συνήθως το σχήμα είναι ελικοειδές, αλλά υπάρχουν και ελατήρια σε σχήμα ράβδου, οι σούστες.

Το κάθε ελατήριο μπορεί να παραμορφωθεί ως προς μία διάστασή του υπό την επίδραση δύναμης. Όταν ασκείται δύναμη σε αυτήν τη διάσταση, το ελατήριο παραμορφώνεται αποθηκεύοντας το έργο της δύναμης.
 

Ιδανικό ελατήριο
Σε ιδανικά θεωρητικά ελατήρια ισχύει απόλυτα ο νόμος του Hook, δε χάνεται ενέργεια στο περιβάλλον και τα ελατήρια μπορούν πάντα να επιστρέψουν στο αρχικό τους μήκος. Επίσης η μάζα του ιδανικού ελατηρίου θεωρείται αμελητέα.
[Στην πραγματικότητα χάνεται μικρό ποσό ενέργειας στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια, ενώ η παραμόρφωση μπορεί να γίνει μόνιμη. Κάθε ελατήριο έχει κάποια όρια αντοχής αν τα υπερβούν θα παραμορφωθεί ή θα σπάσει. Επιπλέον, με την επαναλαμβανόμενη χρήση το υλικό χάνει τις ιδιότητές του λόγω μηχανικής κόπωσης και αν δεν αντικατασταθεί θα σπάσει.]


Νόμος του Hooke
Οι ελαστικές παραμορφώσεις είναι ανάλογες των δυνάμεων που τις προκαλούν.

Fελ = k x

x: η παραμόρφωση του ελατηρίου σε σχέση με το φυσικό του μήκος (Θ.Φ.Μ)
k: η σταθερά του ελατηρίου που εκφράζει τη σκληρότητα του και μετριέται σε Ν/m.
lο: το φυσικό μήκος του ελατηρίου όταν δεν είναι παραμορφωμένο.  

Όπως βλέπεις από το σχήμα η δύναμη του ελατηρίου (Fελ) έχει πάντα φορά προς την Θ.Ι. ή Θ.Φ.Μ, που στην περίπτωση του οριζόντιου ελατηρίου αυτές οι δυο ταυτίζονται (Θ.Ι. = Θ.Φ.Μ)


Θυμήσου: δύναμη επαναφοράς 


Οριζόντιο ελατήριο

Όταν ένα σώμα είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου και κινείται χωρίς τριβές σε λείο οριζόντιο επίπεδο (εκτελώντας γραμμική αρμονική ταλάντωση, ΓΑΤ), τότε στη θέση ισορροπίας του σώματος το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Επίσης, σε κάθε σημείο, αφού ασκείται μόνο μια δύναμη (αυτή του ελατηρίου) τότε η δύναμη επαναφοράς (ΣF) θα ταυτίζεται με την δύναμη του ελατηρίου (Fελ).
Σε κάθε τυχαία θέση η απομάκρυνση x από την θέση ισορροπίας συμπίπτει με την επιμήκυνση ή τη συσπείρωση του ελατηρίου και για την δύναμη επαναφοράς ισχύει: 
ΣF = -Fελ =-kx
Η σχέση αυτή είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί το σώμα απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k.

Κατακόρυφο ελατήριο
Όταν ένα σώμα είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου (εκτελώντας γραμμική αρμονική ταλάντωση, ΓΑΤ), τότε στη θέση ισορροπίας του σώματος το ελατήριο δεν έχει το φυσικό του μήκος. Επίσης, σε κάθε σημείο, αφού ασκείται και η δύναμη του βάρους (εκτός από τη δύναμη του ελατηρίου) τότε η δύναμη επαναφοράς (ΣF) δεν θα ταυτίζεται με την δύναμη του ελατηρίου (Fελ).

Στη Θ.Ι. ισορροπίας του σώματος το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά x1 και ισχύει: 
 ΣF =0  ή   mg - Fελ =0   ή   mg = kx1 (1)

Σε μια τυχαία θέση του σώματος όπου η απομάκρυνση  από την Θ.Ι.  του είναι x, ισχύει: 
ΣF = mg – F΄ελ = mg – k(x1+x)
Η οποία λόγω της σχέσης (1) γίνεται: ΣF = -kx= -Dx
Η σχέση αυτή είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί το σώμα απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k.

Προσοχή: την απόσταση (x) για την Fελ (ή την ελ … ) την μετράμε πάντα από το την Θέση Φυσικού Μήκους.




Ελατήριο σε κεκλιμένο επίπεδο
Σε αντιστοιχία με το κατακόρυφο ελατήριο, έτσι και στο κεκλιμένο επίπεδο στη θέση ισορροπίας του σώματος το ελατήριο δεν έχει το φυσικό του μήκος. Επομένως με βάση το σχήμα στη Θ.Ι. ισχύει: 

ΣF =0  ή -wx + Fελ =0 ή mgημφ = kx1 (2)

Σε μια τυχαία θέση του σώματος όπου η απομάκρυνση  από την Θ.Ι.  του είναι x, ισχύει: 
ΣF = F΄ελ - wx =  k(x1-x) -  mgημφ

Η οποία λόγω της σχέσης (2) γίνεται:
ΣF = -kx= -Dx

άρα το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k.






Σχόλια

  1. Θα ήθελα παρακαλώ πολύ μία διευκρίνηση όσον αφορά τη σταθερά επαναφοράς D και τη σταθερά ελατηρίου k . Πότε αυτές είναι διαφορετικές, μεταξύ τους, σε περιπτώσεις ελατηρίων( κατακόρυφα, κεκλιμένα, οριζόντια) όταν έχουμε παρουσία μεταβαλλόμενης δύναμης;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Καλησπέρα, ήθελα να ρωτήσω, για την εύρεση της χρονικής εξίσωσης της Fελ σε κατακόρυφο ελατήριο, με ποια λογική η Fελ έχει πάντα θετικό πρόσημο ενώ μπορεί σύμφωνα με τη θετική φορά που λάβαμε να είναι αρνητική; Ευχαριστώ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. H δύναμη του ελατηρίου δίνεται από τη σχεση Fελ=kΔl και οπου Δl είναι η απόσταση (που είναι πάντα θετικη) από την θεση φυσικού μήκους.

      Όταν θελεις να γραψεις την παραπάνω δυναμη σε συνάρτηση με το χρόνο (και γενικα οποιαδήποτε δυναμη) τοτε παντα θα εφαρμόζεις τη συνθήκη ταλάντωσης ΣF=-Dx και οπου x=Aημ(ωt+φο).

      Για το κατακόρυφο ελατήριο που αναφέρεις (με εστω θετικη φορα προς τα πανω) ΣF=-Dx ή Fελ-w=-Dx…

      Διαγραφή
    2. Σας ευχαριστώ πάρα πολύ! Στην περίπτωση που λέτε, δηλαδή αν πάρουμε θετική φορά προς τα πάνω, και το x (η απομάκρυνση) είναι αρνητική, δεν λέμε Fελ= B+ΣF = kΔl-k(-x) = kΔl+kx για να δείξουμε ότι η Fελ αντίρροπη του x; Εξάλλου δεν ισχύει ότι Fελ= k(Δl+x);

      Διαγραφή
    3. Ακριβώς, απλά πρέπει να προσέχεις τη θετική φορά, τις δυνάμεις που ενεργούν και αν το x ειναι θετικό ή αρνητικό και δεν θα κάνεις ποτέ λαθος. Παρακαλώ. :-)

      Διαγραφή
  3. Εντάξει, και πάλι σας ευχαριστώ!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Καλησπερα.. για να βρουμε την εξισωση της δυναμικης ενεργειας του ελατηριου σε συναρτηση με την απομακρυνση χ του σωματος απο τη Θ.Ι. του,σε κατακορυφο ταλαντωτη, πως εργαζομαστε;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Για να βρούμε την δύναμη του Ελαατηριου θα κάνουμε Fελατ =-κx ή θα πάρουμε το Uαρχικό -Uτελικό?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Βασικά η Fελ=K*Δl, όπου Δl η απόσταση απο την ΘΦΜ του ελατηρίου.
      ΣF=-K*X αφορά την δύναμη επαναφοράς της ταλάντωσης, όχι του ελατηρίου, άρα Χ είναι η απόσταση απο την Θέση Ισορροπίας.
      Τέλος, Uαρχ-Uτελ είναι το έργο της δύναμης του ελατηρίου.

      Διαγραφή
  6. Καλησπέρα... Για να γραψω τη δύναμη ελατηριου σε συναρτηση με την απομακρυνση από τη θέση ισορροπίας; χρειάζεται να πάρω παραδείγματα για αν ειναισ την ακραία θέση κτλ;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Στο κατακόρυφο σύστημα μαζα-ελατήριο αν απομακρύνω το σώμα κατά x προς τα κάτω ή προς τα πάνω απο την Θ.Ι, πόσο θα είναι το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σύστημα?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. θεωρείστε οτι αφήνω απότομα το σώμα απο την θέση στην οποία το έχω τραβήξει.

      Διαγραφή
    2. Καλησπερα, το αφήνω σημαίνει δεν του προσδίδω ταχύτητα, άρα;, βρίσκεται σε ακραία θέση, επομένως η αρχική σου απομάκρυνση είναι και το πλάτος της ταλάντωσης.

      Διαγραφή
  8. Ευχαριστω πάρα πολυ. Να στε καλα!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Δημοσίευση σχολίου

Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) Εξισώσεις κίνησης

Περιοδικά ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Π.χ. ομαλή κυκλική κίνηση, κίνηση εκκρεμούς, περιστροφή γης γύρω από τον ήλιο κ.ά. (Σκέψου μερικά ακόμη …) Στοιχεία περιοδικής κίνησης Κάθε περιοδική κίνηση χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω τρία στοιχειά: Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου ή ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του φαινομένου. Η περίοδος είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα μέτρησής της είναι το 1 sec . Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο θα δίνεται από το σταθερό πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου σε κάποιο χρόνο t, προς το χρόνο αυτό.Δηλαδή:        Η συχνότητα είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης το 1 sec -1 ή 1 κύκλος/sec ή 1 Hz (Hertz) . Σχέση μεταξύ περιόδου – συχνότητας Επειδή σε χρόν

Ενέργεια Ταλάντωσης

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε (ή ολική ενέργεια) ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισούται με την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε κίνηση (ταλάντωση).  Η ενέργεια αυτή θα δίνεται από τη σχέση:  Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι το πλάτος Α καθορίζεται από την ενέργεια  της ταλάντωσης, δηλαδή από την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα ώστε  να αρχίσει να ταλαντώνεται. Σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια παραμένει  σταθερή. Η ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους της. Απόδειξη της παραπάνω σχέσης. Αν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στην θέση ισορροπίας, για να μετακινηθεί σε µια άλλη θέση πρέπει να του ασκηθεί κατάλληλη εξωτερική δύναμη F εξ . Κατά την μετακίνηση αυτή θα ασκείται στο σώμα και η δύναμη επαναφοράς.  Για να μετακινηθεί το σώμα στην θέση (x) θα πρέπει το μέτρο της εξωτερικής δύναμης να είναι ίσο µε το μέτρο της δύναμης επανα

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) - Συνισταμένη Δύναμη

Από την Α΄ Λυκείου γνωρίζεις τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (2 ος νόμος του Newton), ΣF=mα . Επίσης, όπως γνωρίζεις για να υπάρχει επιτάχυνση πρέπει να υπάρχει και δύναμη που ασκείται σε κάποιο σώμα. Στην Α.Α.Τ. ισχύει α=-ω 2 x, ο συνδυασμός αυτών των δυο σχέσεων δίνει τη σχέση:  Σ F=-m ω 2 x     Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την Θ.Ι. της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από την Θ.Ι. η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. (Για το λόγο αυτό, ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης). Επίσης, στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ΣF είναι μεγίστη. Στο βίντεο δες το διάνυσμα της δύναμης επαναφοράς (είναι πάντα προς την θέση ισορροπίας).      Αν συμβολίσουμε το γινόμενο mω 2 με D (που είναι σταθερό για κάθε ταλαντωτή), δηλαδή D = mω 2 Τότε θα έχουμε τη σχέση που δίνει τ

Πως αποδεικνύουμε ότι ένα σώμα κάνει απλή αρμόνική ταλάντωση

Το είδες εδώ , τώρα λίγο πιο αναλυτικά. Σε ασκήσεις που έχουμε ένα σώμα συνδεδεμένο με ένα ελατήριο και μας ζητείται να αποδείξουμε ότι σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δουλεύουμε πάντα έχοντας στο μυαλό μας ότι αρκεί να αποδείξουμε ότι σε μιά τυχαία θέση της κίνησης του σώματος η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε αυτό μπορεί να γραφεί στη μορφή:  Σ F=-Dx Για το σκοπό αυτό ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Σχεδιάζουμε το ελατήριο στη θέση φυσικού μήκους (ΘΦΜ). 2. Σχεδιάζουμε το σύστημα ελατήριο - σώμα στη θέση ισορροπίας του (Θ.Ι.) και   σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. (γράφουμε:)  Στη θέση ισορροπίας του συστήματος ισχύει   ΣF=0 Από τη σχέση αυτή για τη συνισταμένη των δυνάμεων στη θέση ισορροπίας προκύπτει μια συνθήκη για τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα στην κατάσταση ισορροπίας. Δηλαδη:  Σ F =0  ή   mg - F ελ  =0   ή    mg = kx 1  (1) 3. Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα όταν το σώμα

Ταλάντωση και πλαστική κρούση

Θυμήσου την ορμή:  Για ένα σώμα μάζας m που κινείται µε ταχύτητα u η ορμή του p δίνεται από τη σχέση: p=mu Η ορμή p είναι ένα διανυσματικό μέγεθος το ο­ποίο έχει: μέτρο p = m u , διεύθυνση και φορά ίδια µε τη διεύθυνση και τη φορά της ταχύτητας u , μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 kg ∙ m/s (ισοδύναμη μονάδα είναι το 1 Ν∙s). Η ορμή, ως διανυσματικό μέγεθος, έχει όλες τις ιδιότητες των διανυσμάτων. Έτσι: μπορεί ν' αναλυθεί σε άξονες, δηλαδή σε συ­νιστώσες p x και p y, μεταβάλλεται αν μεταβληθεί τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία της, δηλαδή το μέτρο της, η διεύθυνσή της ή η φορά της. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής (dp/dt) ισούται με την δύναμη ή τη συνισταμένη των δυνάμεων (ΣF) που ασκούνται στο σώμα. Προσοχή: Όταν στις ασκήσεις πρέπει να υπολογίσεις την μεταβολή της ορμής τότε θα υπολογίζεις την σχέση:    Δp = p τελ – p αρχ Ενώ όταν  ζητείται ο ρυθμό μεταβολής της ορμής θα υπολογίζεις τη σχέση:  dp/dt  ή Σ F.

Θέματα πανελληνίων εξετάσεων: Ταλαντώσεις

Τα θέματα των πανελληνίων μπορείς να τα δεις κι εδώ , αλλά σ’ αυτό το αρχείο θα βρεις όλα τα θέματα από το 2001 ως το 2012 τα οποία αναφέρονται στις ταλαντώσεις, αποκλειστικά,  μηχανικές, ηλεκτρικές. Καλή δουλειά σου εύχομαι. 

Αρχική Φάση Στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ.) - Μεθοδολογία και Ασκήσεις

Σκοπός: Η ανάπτυξη δεξιοτήτων στις τριγωνομετρικές εξισώσεις σε συνδυασμό με τα βασικά μεγέθη της απλής αρμονικής ταλάντωσης .  Απαιτούμενες γνώσεις: Τριγωνομετρικές Εξισώσεις – Εξισώσεις στην Α.Α.Τ. Βασικές παρατηρήσεις:  1. Η ταλάντωση ενός σώματος δεν έχει αρχική φάση μόνο στην κατάσταση κατά την οποία τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του έχοντας θετική ταχύτητα. Σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση η ταλάντωση του σώματος έχει αρχική φάση και την υπολογίζουμε μέσω των τριγωνομετρικών εξισώσεων.  2. Η αρχική φάση μιας απλής αρμονικής με βάση το σχολικό βιβλίο παίρνει τιμές:  0≤φο<2π rad. 3. Για να προσδιορίσουμε την αρχική φάση πρέπει να γνωρίζουμε σε κάποια χρονική στιγμή (συνήθως τη στιγμή t=0) την κατάσταση που βρίσκεται ο ταλαντωτής (δηλαδή, τις αλγεβρικές τιμές τουλάχιστον δύο μεγεθών: ταχύτητα, θέση, επιτάχυνση). Απλές ασκήσεις εφαρμογής των παραπάνω. 1. Στις παρακάτω περιπτώσεις να βρεθεί η αρχική φάση της ταλάντωσης, βασική προϋπόθεση: η κίνηση είνα

Μαγνήτες πηνία και ηλεκτρικό ρεύμα.

Ο Michael Faraday δημιούργησε την πρώτη ηλεκτρική γεννήτρια το 1831 χρησιμοποιώντας ένα πηνίο και ένα μόνιμο μαγνήτη. Όταν ο μαγνήτης άλλαζε θέση σε σχέση με το πηνίο, αναπτυσσόταν ηλεκτρικό ρεύμα. Ένα παρόμοιο πείραμα μπορεί να πραγματοποιηθεί με ένα σωλήνα χαλκού και έναν μαγνήτη. Παρά το γεγονός ότι ο χαλκός δεν είναι μαγνητικό υλικό, κατά την πτώση του μαγνήτη μέσα από τον σωλήνα δημιουργείται ένα μαγνητικό πεδίο με αποτέλεσμα την ανάπτυξη ηλεκτρικού ρεύματος. Το ρεύμα με τη σειρά του δημιουργεί μαγνητικό πεδίο το οποίο αντιτίθεται στην κίνηση του μαγνήτη καθυστερώντας την πτώση του. Η παραπάνω λειτουργία δημιουργεί ηλεκτρική ενέργεια η οποία στη συνέχεια διαχέεται στην ατμόσφαιρα με τη μορφή θερμότητας. Η ίδια βασική αρχή χρησιμοποιείται για την παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας σε όλο τον κόσμο. Απλό. Δεν είχε ιδέα τι θα ακολουθούσε .  Source:  1veritasium

Θα μπορούσε η γη να είναι επίπεδη;

Όχι, προφανώς αλλά υπάρχουν αρκετοί υποστηρικτές της επίπεδης γης, σύμφωνα με το forum the flat earth society , σαράντα χιλιάδες μη λογικοί άνθρωποι πιστεύουν ότι η γη είναι επίπεδη, σήμερα, όχι πριν τρεις χιλιάδες χρόνια. Με το θέμα ασχολήθηκε ο  Μάικλ Στίβενς , όχι με τις ψεκασμένες απόψεις αλλά με την επιστημονική λογική, αν αυτή υφίσταται, σε μια επίπεδη γη.  Ένας λόγος για τον οποίο οι θεωρίες συνωμοσίας είναι δημοφιλείς είναι επειδή οι άνθρωποι έχουν μια φυσική τάση να αναζητούν νόημα σε διαφορετικά τυχαία γεγονότα. Ο νευρολόγος Klaus Konrad επινόησε τον όρο αποφένια το 1948 για να χαρακτηρίσει την έναρξη της παραληρητικές σκέψης στην ψύχωση - ως όρος σημαίνει την εμπειρία του να δει κάποιος νόημα, οικεία μοτίβα ή συνδέσεις σε τυχαία δεδομένα [...] Μια από τις πιο γνωστές θεωρίες συνωμοσίας ήταν η πρώτη προσσελήνωση (1969) και ειδικά το φαινόμενο του «κυματισμού της αμερικάνικης σημαίας». Με δεδομένο ότι στην Σελήνη δεν υπάρχει αέρας και ως εκ τούτου άνεμος, που να