Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

Ταλάντωση και πλαστική κρούση



Θυμήσου την ορμή: 

Για ένα σώμα μάζας m που κινείται µε ταχύτητα u η ορμή του p δίνεται από τη σχέση: p=mu


Η ορμή p είναι ένα διανυσματικό μέγεθος το ο­ποίο έχει:
  • μέτρο p = mu,
  • διεύθυνση και φορά ίδια µε τη διεύθυνση και τη φορά της ταχύτητας u,
  • μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 kg ∙ m/s (ισοδύναμη μονάδα είναι το 1 Ν∙s).
Η ορμή, ως διανυσματικό μέγεθος, έχει όλες τις ιδιότητες των διανυσμάτων. Έτσι:
  • μπορεί ν' αναλυθεί σε άξονες, δηλαδή σε συ­νιστώσες px και py,
  • μεταβάλλεται αν μεταβληθεί τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία της, δηλαδή το μέτρο της, η διεύθυνσή της ή η φορά της.
Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής (dp/dt) ισούται με την δύναμη ή τη συνισταμένη των δυνάμεων (ΣF) που ασκούνται στο σώμα.

Προσοχή:

  • Όταν στις ασκήσεις πρέπει να υπολογίσεις την μεταβολή της ορμής τότε θα υπολογίζεις την σχέση:  Δp = pτελpαρχ
  • Ενώ όταν  ζητείται ο ρυθμό μεταβολής της ορμής θα υπολογίζεις τη σχέση: 
    dp/dt ή ΣF.
Θυμήσου:
Σύστημα σωμάτων ονομάζουμε κάθε σύνολο σωμάτων, τα οποία απομονώνουμε νοητικά από το περιβάλλον.
Εσωτερικές δυνάμεις ενός συστήματος σωμάτων λέμε τις δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των σωμάτων του συστήματος ενώ εξωτερικές λέμε τις δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα του συστήματος από τα σώματα του περιβάλλοντος.
Μονωμένο λέγεται το σύστημα σωμάτων στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις ή αν ασκούνται έχουν συνισταμένη μηδέν.

Αρχή Διατήρησης της Ορμής
Αν σε ένα σύστημα σωμάτων δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις ή αν ασκούνται και έχουν μηδενική συνισταμένη, η ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή (διατηρείται).

Πλαστική κρούση
Όταν δύο σώματά μετά την κρούση τους κινούνται μαζί (συσσωμάτωμα), τότε λέμε ότι η κρούση τους είναι πλαστική. 
Στην πλαστική κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής (το σύστημα εί­ναι μονωμένο), δηλαδή στο παράδειγμα του σχήματος θα είναι: 
 

Στην πλαστική κρούση η κινητική ενεργεία του συστήματος μειώνεται, δηλαδή η κινητική ενέργεια δεν διατηρείται. Ένα μέρος της κινητικής ενέργειας που είχε το σύστημα πριν την κρούση μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια και σε ενέργεια μόνιμης παραμόρφωσης. 



Σημαντικό:
Σε προβλήματα ταλαντώσεων με πλαστική κρούση ή έκρηξη πρέπει να προσέχεις ότι:


Εφαρμογή κατακόρυφο ελατήριο και πλαστική κρούση. 

Στο διπλανό σχήμα βλέπεις δυο σώματα (μαζών m1 και m2), το σώμα m1 είναι στερεωμένο σε ελατήριο και μένει ακίνητο στην θέση ισορροπίας του, το σώμα m2 εκτοξεύεται από το έδαφος με αρχική ταχύτητα uo και αφού καλύψει απόσταση h συγκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας m1

Σε προβλήματα τέτοιου τύπου θα ακλουθείς τα παρακάτω βασικά βήματα (ανεξάρτητα από τα ζητούμενα):
1) Υπολογίζεις την ταχύτητα u2 λίγο πριν την κρούση με δύο τρόπους (διάλεξε τον πιο οικείο, εγώ προτείνω το Β):
Α) Με εξισώσεις κίνησης για την κατακόρυφη βολή.  

Β) Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.): Εμηχ(αρχ) = Εμηχ(τελ) ή Uβαρ(αρχ) + Κ(αρχ) = Uβαρ(τελ) + Κ(τελ)
Αν δεν θυμάσαι δες εδώ

2) Γνωρίζοντας πλέον την ταχύτητα u2 εφαρμόζεις την αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) για να βρεις την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση: pολ(αρχ) = pολ(τελ)  ή  m10 -m2u2 = +(m1 + m2)uΣ

3) Επίσης, για τις θέσεις ισορροπίας εφαρμόζεις τα γνωστά:
Θ.Ι. (m1): ΣF =0  ή m1g - Fελ =0 ή m1g = kx1
Θ.Ι. (m1 + m2): ΣF =0  ή (m1 + m2)g – F’ελ =0 ή (m1 + m2)g = k(x1 + x2)
Από τις σχέσεις αυτές θα βρεις τη θέση x2 που είναι η απομάκρυνση του σώματος από την νέα θέση ισορροπίας αμέσως μετά την συσσωμάτωση, που συνήθως χαρακτηρίζεται σαν στιγμή t=0. (Αυτό σου «λύνει τα χέρια» για την εφαρμογή της Α.Δ.Ε.Τ.).

4) Εφαρμόζεις την αρχή διατήρησης ενέργειας της ταλάντωσης (Α.Δ.Ε.Τ.) στη θέση x2:  

Την παραπάνω σχέση ανάλογα με τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης την διαχειρίζεσαι αναλόγως. 





Σχόλια

Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) Εξισώσεις κίνησης

Περιοδικά ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Π.χ. ομαλή κυκλική κίνηση, κίνηση εκκρεμούς, περιστροφή γης γύρω από τον ήλιο κ.ά.
(Σκέψου μερικά ακόμη…)
Στοιχεία περιοδικής κίνησης Κάθε περιοδική κίνηση χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω τρία στοιχειά:
Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου ή ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του φαινομένου.
Η περίοδος είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα μέτρησής της είναι το 1 sec.

Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο θα δίνεται από το σταθερό πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου σε κάποιο χρόνο t, προς το χρόνο αυτό.Δηλαδή: Η συχνότητα είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης το 1 sec-1 ή 1 κύκλος/sec ή 1 Hz (Hertz).



Σχέση μεταξύ περιόδου – συχνότητας Επειδή σε χρόνο t ίσο με μια περίοδο Τ έχουμε μια επανάληψη (Ν=1) του φαινομένου έχουμ…

Ενέργεια Ταλάντωσης

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε (ή ολική ενέργεια) ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισούται με την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε κίνηση (ταλάντωση). 




Η ενέργεια αυτή θα δίνεται από τη σχέση:  Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι το πλάτος Α καθορίζεται από την ενέργεια της ταλάντωσης, δηλαδή από την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα ώστε να αρχίσει να ταλαντώνεται. Σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια παραμένει σταθερή. Η ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους της.

Απόδειξη της παραπάνω σχέσης. Αν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στην θέση ισορροπίας, για να μετακινηθεί σε µια άλλη θέση πρέπει να του ασκηθεί κατάλληλη εξωτερική δύναμη Fεξ . Κατά την μετακίνηση αυτή θα ασκείται στο σώμα και η δύναμη επαναφοράς. 

Για να μετακινηθεί το σώμα στην θέση (x) θα πρέπει το μέτρο της εξωτερικής δύναμης να είναι ίσο µε το μέτρο της δύναμης επαναφοράς και να έχει αντίθετη φορά, σε κάθε χρονι…

Ταλάντωση και Ελατήριο

Ελατήριο ονομάζεται ένα μηχανικό εξάρτημα το οποίο έχει την ικανότητα να αποθηκεύει μηχανική ενέργεια παραμορφώμενο προσωρινά. Συνήθως το σχήμα είναι ελικοειδές, αλλά υπάρχουν και ελατήρια σε σχήμα ράβδου, οι σούστες.
Το κάθε ελατήριο μπορεί να παραμορφωθεί ως προς μία διάστασή του υπό την επίδραση δύναμης. Όταν ασκείται δύναμη σε αυτήν τη διάσταση, το ελατήριο παραμορφώνεται αποθηκεύοντας το έργο της δύναμης.
Ιδανικό ελατήριο Σε ιδανικά θεωρητικά ελατήρια ισχύει απόλυτα ο νόμος του Hook, δε χάνεται ενέργεια στο περιβάλλον και τα ελατήρια μπορούν πάντα να επιστρέψουν στο αρχικό τους μήκος. Επίσης η μάζα του ιδανικού ελατηρίου θεωρείται αμελητέα. [Στην πραγματικότητα χάνεται μικρό ποσό ενέργειας στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια, ενώ η παραμόρφωση μπορεί να γίνει μόνιμη. Κάθε ελατήριο έχει κάποια όρια αντοχής αν τα υπερβούν θα παραμορφωθεί ή θα σπάσει. Επιπλέον, με την επαναλαμβανόμενη χρήση το υλικό χάνει τις ιδιότητές του λόγω μηχανικής κόπωσης και αν δεν αντικατασταθεί θα σπάσει.]

Νόμο…

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) - Συνισταμένη Δύναμη

Από την Α΄ Λυκείου γνωρίζεις τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (2ος νόμος του Newton), ΣF=mα. Επίσης, όπως γνωρίζεις για να υπάρχει επιτάχυνση πρέπει να υπάρχει και δύναμη που ασκείται σε κάποιο σώμα. Στην Α.Α.Τ. ισχύει α=-ω2x, ο συνδυασμός αυτών των δυο σχέσεων δίνει τη σχέση: 
ΣF=-m ω2x Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την Θ.Ι. της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από την Θ.Ι. η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. (Για το λόγο αυτό, ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης). Επίσης, στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ΣF είναι μεγίστη.


Στο βίντεο δες το διάνυσμα της δύναμης επαναφοράς (είναι πάντα προς την θέση ισορροπίας). 



Αν συμβολίσουμε το γινόμενο mω2 με D (που είναι σταθερό για κάθε ταλαντωτή), δηλαδή D = mω2
Τότε θα έχουμε τη σχέση που δίνει τη δύναμη:F = −Dx (Μάθε την απόδειξη)

Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και σαν συν…