Πρόβλημα #4: Μηχανική Στερεού Σώματος

Σώμα μάζας m₁ = 2kg ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 200N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο στο έδαφος.

Ομογενής και συμπαγής κύλινδρος με μάζα m₂ = 6kg και ακτίνα R = 0,1m, βρίσκεται τοποθετημένος σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ = 30^ο και συνδέεται μέσω αβαρούς μη εκτατού νήματος και τροχαλίας με το σώμα μάζας m₁ και όλο το σύστημα ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Α.

1. Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί το νήμα στον κύλινδρο στην κατά την ισορροπία του συστήματος.

2. Να υπολογίσετε την επιμήκυνση του ελατηρίου.

Β. Τη χρονική στιγμή t_ο = 0 το νήμα κόβεται οπότε ο κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται στο πλάγιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει και ταυτόχρονα το σώμα μάζας m₁ πραγματοποιεί Α.Α.Τ.

1. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου, τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου και το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται ο κύλινδρος από το πλάγιο επίπεδο.

2. Να δείξετε ότι η κίνηση του κυλίνδρου στο πλάγιο επίπεδο γίνεται πράγματι χωρίς ολίσθηση.

Γ. Αν ο κύλινδρος φτάνει στη βάση του πλάγιου επιπέδου τη χρονική στιγμή t₁ που το σώμα μάζας m₁ διέρχεται από την ακραία θετική θέση για 2η φορά, θεωρώντας θετική τη φορά του σχήματος, να υπολογίσετε:

1. τη χρονική στιγμή t₁

2. τη μετατόπιση του κυλίνδρου στο κεκλιμένο επίπεδο και την κατακόρυφη μετατόπιση του.

3. την κατακόρυφη μετατόπιση του κυλίνδρου.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g =10m/s² , η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του I_cm=mR²/2, ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του κυλίνδρου και του πλάγιου επιπέδου μ_s=√3/5 και π²=10.

Σχόλια

Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) Εξισώσεις κίνησης

Περιοδικά ονομάζονται τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Π.χ. ομαλή κυκλική κίνηση, κίνηση εκκρεμούς, περιστροφή γης γύρω από τον ήλιο κ.ά. (Σκέψου μερικά ακόμη …) Στοιχεία περιοδικής κίνησης Κάθε περιοδική κίνηση χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω τρία στοιχειά: Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου ή ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του φαινομένου. Η περίοδος είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα μέτρησής της είναι το 1 sec . Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο θα δίνεται από το σταθερό πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου σε κάποιο χρόνο t, προς το χρόνο αυτό.Δηλαδή: Η συχνότητα είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης το 1 sec -1 ή 1 κύκλος/sec ή 1 Hz (Hertz) . Σχέση μεταξύ περιόδου – συχνό...

Διαβάστε περισσότερα

Ενέργεια Ταλάντωσης

Η ενέργεια της ταλάντωσης Ε (ή ολική ενέργεια) ενός συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ισούται με την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα για να το θέσουμε σε κίνηση (ταλάντωση). Η ενέργεια αυτή θα δίνεται από τη σχέση: Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι το πλάτος Α καθορίζεται από την ενέργεια της ταλάντωσης, δηλαδή από την ενέργεια που προσφέραμε αρχικά στο σύστημα ώστε να αρχίσει να ταλαντώνεται. Σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια παραμένει σταθερή. Η ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους της. Απόδειξη της παραπάνω σχέσης. Αν το σώμα βρίσκεται ακίνητο στην θέση ισορροπίας, για να μετακινηθεί σε µια άλλη θέση πρέπει να του ασκηθεί κατάλληλη εξωτερική δύναμη F εξ . Κατά την μετακίνηση αυτή θα ασκείται στο σώμα και η δύναμη επαναφοράς. Για να μετακινηθεί το σώμα στην θέση (x) θα πρέπει το μέτρο της εξωτερικής δύναμης να είναι ίσο ...

Διαβάστε περισσότερα

Ταλάντωση και Ελατήριο

Ελατήριο ονομάζεται ένα μηχανικό εξάρτημα το οποίο έχει την ικανότητα να αποθηκεύει μηχανική ενέργεια παραμορφώμενο προσωρινά. Συνήθως το σχήμα είναι ελικοειδές, αλλά υπάρχουν και ελατήρια σε σχήμα ράβδου, οι σούστες. Το κάθε ελατήριο μπορεί να παραμορφωθεί ως προς μία διάστασή του υπό την επίδραση δύναμης. Όταν ασκείται δύναμη σε αυτήν τη διάσταση, το ελατήριο παραμορφώνεται αποθηκεύοντας το έργο της δύναμης. Ιδανικό ελατήριο Σε ιδανικά θεωρητικά ελατήρια ισχύει απόλυτα ο νόμος του Hook , δε χάνεται ενέργεια στο περιβάλλον και τα ελατήρια μπορούν πάντα να επιστρέψουν στο αρχικό τους μήκος. Επίσης η μάζα του ιδανικού ελατηρίου θεωρείται αμελητέα. [Στην πραγματικότητα χάνεται μικρό ποσό ενέργειας στο περιβάλλον ως θερμική ενέργεια, ενώ η παραμόρφωση μπορεί να γίνει μόνιμη. Κάθε ελατήριο έχει κάποια όρια αντοχής αν τα υπερβούν θα παραμορφωθεί ή θα σπάσει. Επιπλέον, με την επαναλαμβανόμενη χρήση το υλικό χάνει τις ιδιότητές του λόγω μηχανικής κόπωσης και αν ...

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ) - Συνισταμένη Δύναμη

Από την Α΄ Λυκείου γνωρίζεις τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (2 ος νόμος του Newton), ΣF=mα . Επίσης, όπως γνωρίζεις για να υπάρχει επιτάχυνση πρέπει να υπάρχει και δύναμη που ασκείται σε κάποιο σώμα. Στην Α.Α.Τ. ισχύει α=-ω 2 x, ο συνδυασμός αυτών των δυο σχέσεων δίνει τη σχέση: Σ F=-m ω 2 x Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την Θ.Ι. της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από την Θ.Ι. η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. (Για το λόγο αυτό, ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης). Επίσης, στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ΣF είναι μεγίστη. Στο βίντεο δες το διάνυσμα της δύναμης επαναφοράς (είναι πάντα προς την θέση ισορροπίας). Αν συμβολίσουμε το γινόμενο mω 2 με D (που είναι σταθερό για κάθε ταλαντωτή), δηλαδή D = mω 2 Τότε θ...

Διαβάστε περισσότερα

Πως αποδεικνύουμε ότι ένα σώμα κάνει απλή αρμόνική ταλάντωση

Το είδες εδώ , τώρα λίγο πιο αναλυτικά. Σε ασκήσεις που έχουμε ένα σώμα συνδεδεμένο με ένα ελατήριο και μας ζητείται να αποδείξουμε ότι σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δουλεύουμε πάντα έχοντας στο μυαλό μας ότι αρκεί να αποδείξουμε ότι σε μιά τυχαία θέση της κίνησης του σώματος η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε αυτό μπορεί να γραφεί στη μορφή: Σ F=-Dx Για το σκοπό αυτό ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Σχεδιάζουμε το ελατήριο στη θέση φυσικού μήκους (ΘΦΜ). 2. Σχεδιάζουμε το σύστημα ελατήριο - σώμα στη θέση ισορροπίας του (Θ.Ι.) και σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. (γράφουμε:) Στη θέση ισορροπίας του συστήματος ισχύει ΣF=0 Από τη σχέση αυτή για τη συνισταμένη των δυνάμεων στη θέση ισορροπίας προκύπτει μια συνθήκη για τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα στην κατάσταση ισορροπίας. Δηλαδη: Σ F =0 ή mg - F ελ =0 ή mg = kx 1 (1) ...

Διαβάστε περισσότερα

Ταλάντωση και πλαστική κρούση

Θυμήσου την ορμή: Για ένα σώμα μάζας m που κινείται µε ταχύτητα u η ορμή του p δίνεται από τη σχέση: p=mu Η ορμή p είναι ένα διανυσματικό μέγεθος το οποίο έχει: μέτρο p = m u , διεύθυνση και φορά ίδια µε τη διεύθυνση και τη φορά της ταχύτητας u , μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 kg ∙ m/s (ισοδύναμη μονάδα είναι το 1 Ν∙s). Η ορμή, ως διανυσματικό μέγεθος, έχει όλες τις ιδιότητες των διανυσμάτων. Έτσι: μπορεί ν' αναλυθεί σε άξονες, δηλαδή σε συνιστώσες p x και p y, μεταβάλλεται αν μεταβληθεί τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία της, δηλαδή το μέτρο της, η διεύθυνσή της ή η φορά της. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής (dp/dt) ισούται με την δύναμη ή τη συνισταμένη των δυνάμεων (ΣF) που ασκούνται στο σώμα. Προσοχή: Όταν στις ασκήσεις πρέπει να υπολογίσεις την μεταβολή της ορμής τότε θα υπολογίζεις την σχέση: Δp = p τελ – p αρχ Ενώ όταν ζητείται ο ρυθμό μεταβολής της ορμής θα υπολογίζεις τη σχέση:...

Διαβάστε περισσότερα

Αρχική Φάση Στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ.) - Μεθοδολογία και Ασκήσεις

Σκοπός: Η ανάπτυξη δεξιοτήτων στις τριγωνομετρικές εξισώσεις σε συνδυασμό με τα βασικά μεγέθη της απλής αρμονικής ταλάντωσης . Απαιτούμενες γνώσεις: Τριγωνομετρικές Εξισώσεις – Εξισώσεις στην Α.Α.Τ. Βασικές παρατηρήσεις: 1. Η ταλάντωση ενός σώματος δεν έχει αρχική φάση μόνο στην κατάσταση κατά την οποία τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του έχοντας θετική ταχύτητα. Σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση η ταλάντωση του σώματος έχει αρχική φάση και την υπολογίζουμε μέσω των τριγωνομετρικών εξισώσεων. 2. Η αρχική φάση μιας απλής αρμονικής με βάση το σχολικό βιβλίο παίρνει τιμές: 0≤φο<2π rad. 3. Για να προσδιορίσουμε την αρχική φάση πρέπει να γνωρίζουμε σε κάποια χρονική στιγμή (συνήθως τη στιγμή t=0) την κατάσταση που βρίσκεται ο ταλαντωτής (δηλαδή, τις αλγεβρικές τιμές τουλάχιστον δύο μεγεθών: ταχύτητα, θέση, επιτάχυνση). Απλές ασκήσεις εφαρμογής των παραπάνω. 1. Στις παρακάτω περιπτώσεις να βρεθεί η αρχική φάση της ταλάν...

Διαβάστε περισσότερα

Κεντρομόλος δύναμη, φυγόκεντρος δύναμη και μπογιά: Τέχνη.

Κεντρομόλος δύναμη: Όταν ένα σώμα εκτελεί κυκλική κίνηση, δηλαδή περιστρέφεται διαγράφοντας κύκλο γύρω από ένα σταθερό σημείο στον χώρο, τότε στο σώμα ασκείται δύναμη η οποία έχει φορά προς το κέντρο του κύκλου αυτού που διαγράφει η τροχιά του. Αυτή η δύναμη ονομάζεται κεντρομόλος. Η κεντρομόλος δύναμη είναι η συνιστώσα της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα κατά τη διεύθυνση που ορίζει κάθε στιγμή η θέση του με το κέντρο της κυκλικής τροχιάς του, έχει κατεύθυνση (φορά) προς το κέντρο αυτό και είναι κάθε χρονική στιγμή κάθετη στην ταχύτητα του σώματος. Φυγόκεντρος δύναμη: Η φυγόκεντρος δύναμη είναι φαινόμενη (ψευδής) δύναμη που «αισθάνεται» ένα σώμα το οποίο εκτελεί κυκλική κίνηση, η οποία μοιάζει να το σπρώχνει (ή να το τραβά) να φύγει από την κυκλική του τροχιά, προς τα έξω. Κάθε σώμα που κινείται σε μη επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς τείνει να διατηρήσει την ταχύτητα προς την κατεύθυνση που έχει κάθε στιγμή. Η εξανάγκαση ενός σώματος να κινείται κυκλικά και όχι ευθύγρ...

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα πανελληνίων εξετάσεων: Ταλαντώσεις

Τα θέματα των πανελληνίων μπορείς να τα δεις κι εδώ , αλλά σ’ αυτό το αρχείο θα βρεις όλα τα θέματα από το 2001 ως το 2012 τα οποία αναφέρονται στις ταλαντώσεις, αποκλειστικά, μηχανικές, ηλεκτρικές. Καλή δουλειά σου εύχομαι.

Διαβάστε περισσότερα

Η διαίρεση με το μηδέν και μια απόδειξη ότι ο περιπτεράς της γειτονιάς σας είναι καρότο.

Ένα πρόβλημα στα μαθηματικά είναι οι πράξεις με το μηδέν και ιδιαίτερα η διαίρεση με παρονομαστή το μηδέν. Γύρω από αυτό το πρόβλημα (ή την απροσδιοριστία αν θέλεις) έχουν γραφτεί διάφορα, πολλά από τα οποία ήταν μπούρδες, περί αποδείξεως του θεού κι άλλα τέτοια. Το παρακάτω κείμενο το οποίο το άντλησα από το blog Μαθη...μαγικα σου εξηγεί το εξής: πως μπορείς να αποδείξεις το οτιδήποτε κάνοντας μια λάθος μαθηματική υπόθεση. Για δες: «Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;» «Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.» « Οι ροζ ή οι άσπροι;» Το μηδέν δεν πειθαρχεί σε όλους τους κανόνες των αριθμών.O Ινδός μαθηματικός Βραχμαγκούπτα παρότι ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε μαζί του ενδελεχώς, ομολογουμένως δεν κατάφερε να χειριστεί την διαίρεση. Την διαίρεσή ενός αριθμού με το μηδέν.Ο μεταγενέστερος του, επίσης Ινδός μαθηματικός Μπασκάρα γνώριζε ότι όσο μικρότερος είναι ο διαιρέτης σε μια διαίρεση τόσο μεγαλύτερο είναι το πη...

Διαβάστε περισσότερα

G-physics.com

Αναζήτηση αυτού του ιστολογίου